校准和模态振型归一何以重要？

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中 Peter Avitabile(著*) KSI科尚仪器董书伟（译）***

校准和模态振型归一何以重要？有差别吗？

我们来讨论一下这个问题。

2014年01月13日发布 ver1.0

对于准确的动力学模型的推导，校准和模态振型归一是两个重要方面，准确的模型可以用于其他结构动力学研究。包括仿真和预测，动力学修改，有限元修正，还有很多。尽管有些情形下，校准和归一或许不那么重要，但我总是建议这些应该做，因为这或许是仅有的当前能采集的数据。我们首先讨论校准，再讨论归一。

整个采集系统校准很重要。回到2通道FFT分析仪的早期，很多时候，当进行故障诊断或者快速侦查试验的时候，我们或许会绕过校准，因为我们只对输出输入的比值感兴趣 — 那么准确的单位或许不那么重要。这也许可以接受，因为我们可能只对结构的一般振型感兴趣。但是一旦需要利用模态数据进行仿真，预测等，就需要一个完全校准过的模型。当动力学模型用于其他结构动力学研究说，需要准确校准。

当更多通道的FFT分析仪出现后，多个加速度计（可能具有不同的灵敏度）的使用就需要至少使用某个归一的校准值。如果不这样，那么结构的不同区域在振型上可能会展示出相对差异，这将对理解模态振型造成混乱。

那么要进行什么校准？嗯，完整的校准总是最好的。这包括整个采集通道作为一个单元 —加速度计、信号调理仪、ADC通道在一起，进行完整的校准。

尽管对每个单独的部分进行校准也常可接受，但更倾向于整个系统一起校准。有很多不同类型的校准。加速度计可以相对一个维护良好的参考加速度计进行校准，参考加速度计跟踪一个振源。这可以利用试验加速度计相对参考加速度计背对背安装方式在实验室内进行。或者可以利用某个已知质量通过跌落测试进行加速度计校准。另一种常见的校准方式是利用力传感器进行激励，力传感器安装到一个带有加速度计的已知质量上。这可以利用已知质量的运动方程得到力与加速度之比。（如果加速度传感器中的其中一个已知，则可以校准其他传感器。）这类校准的最准确的方法是将测试要用的采集通道进行校准。

并且尽管很多校准服务公司提供固定增量（如，50，100，200，500，1000，…）校准，这只能得到那些离散频率上的信息。更好的校准办法是在关心的频率范围内进行宽带输入激励。

既然校准后的模态数据处理好了，我们需要讨论模态振型归一了。是的 — 我明白振型是点之间的相对运动。但是需要采用一种归一办法，也就是说，模态质量、模态阻尼和模态刚度之间的关系。振型可以任意，但是振型和物理量之间的关系至为重要。振型可以按你所愿任意归一 — 但是最常用的是单位质量归一（但其他诸如单位长度、最大值等于1也很常见）。最重要的事情是振型归一到某个确定的量，作以后参考用。对于以后利用动力学模型进行仿真、预测、修正等，归一是关键因素。

利用一个简单的3自由度系统来讲解归一。

运动方程以及设定的系统值为：

\left [ M \right ]\left \{ \ddot{x} \right \}+\left [ C \right ]\left \{ \dot{x} \right \}+\left [ K \right ]\left \{ x \right \}=\left \{ F\left ( t \right ) \right \}

\begin{bmatrix} 1 & & \\ &1 & \\ & &1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{x}_1\\ \ddot{x}_2\\ \ddot{x}_3 \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} 0.2 &-0.1 & \\ -0.1 & 0.2 &-0.1 \\ &-0.1 &0.2 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3 \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} 20000 &-10000 & \\ -10000&20000 &-10000 \\ &-10000 &20000 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f_1\\ f_2\\ f_3 \end{Bmatrix}

对应的特征解得出：

\underline{ \left [ \left [ K \right ] - \lambda\left [ M \right ] \right ] \left \{ X \right \}=\left \{ 0 \right \}}

\left [ \Omega ^2 \right ]=\begin{bmatrix} 5858 & & \\ & 20000 & \\ & &34142 \end{bmatrix}\;;\; \left [ U \right ]=\begin{bmatrix} \left \{ u_1 \right \} &\left \{ u_2 \right \} & \left \{ u_3 \right \} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} 0.500\\ 0.707\\ 0.500 \end{Bmatrix} & \begin{Bmatrix} 0.707\\ 0\\ -0.707 \end{Bmatrix} & \begin{Bmatrix} -0.500\\ 0.707\\ -0.500 \end{Bmatrix} \end{bmatrix}

现在只讲系统第一阶模态。

1阶模态的频率、阻尼和复数极点为：

频率 $12.18Hz$ 阻尼 $0.038 \%$

复数极点 $-0.029\pm j\,76.537\; rad/sec$

回想下，极点和留数是描述所测频响的数值。对1阶模态，它是

h\left ( j \omega \right )=h\left ( s \right )|_{s=j \omega}=\dfrac{a_1}{\left ( j \omega-p_1 \right )}+\dfrac{a_{1}^{*}}{\left ( j \omega-p_{1}^{*} \right )}

现在再回想下，根据下面的方程，留数与系统模态振型直接相关，

\left [ A\left ( s \right ) \right ]_{k}=q_{k}\left \{ u_k \right \}\left \{ u_k \right \}^T

它可以展开为

\begin{bmatrix} a_{11k} &a_{12k} &a_{13k} &\cdots \\ a_{21k} &a_{22k} &a_{23k} &\cdots \\ a_{31k}&a_{32k} &a_{33k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}=q_{k}\begin{bmatrix} u_{1k}u_{1k} &u_{1k}u_{2k} &u_{1k}u_{3k} &\cdots \\ u_{2k}u_{1k} &u_{2k}u_{2k} &u_{2k}u_{3k} &\cdots \\ u_{3k}u_{1k} &u_{3k}u_{2k} &u_{3k}u_{3k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}

这个式子里，比例常数‘q’是很重要的项。尽管有很多可用的不同类型的归一办法，但最常用的一种办法是单位模态质量归一。（这也是有限元建模软件包中很常见的归一办法）。照此办法，模态质量、模态阻尼和模态刚度等系统参数定义为：

模态质量 $\qquad \bar{m}_{k}=\dfrac{1}{q_{k}\bar{\omega}_k}$
模态阻尼 $\qquad \bar{c}_{k}=2\sigma_{k}\bar{m}_{k}$
模态刚度 $\qquad \bar{k}_{k}=\left ( \sigma_{k}^{2}+\bar{\omega}_{k}^{2} \right )\bar{m}_{k}$

现在如果考虑方程的第1列，则利用下式可以建立留数和模态振型之间的关系

\begin{Bmatrix} a_{11k}\\ a_{21k}\\ a_{31k}\\ \vdots \end{Bmatrix}=q_{k}u_{1k}\begin{Bmatrix} u_{1k}\\ u_{2k}\\ u_{3k}\\ \vdots \end{Bmatrix}

我们注意到，这个式子里有个非常重要的比例因子‘ $q$ ’。这个比例常数帮助保留模态振型和系统模态质量、模态阻尼和模态刚度之间的正确比例关系。注意如果我们得到一个测量结果，例如 $h_{31}$ ，那么 $a_{31}=qu_{3}u_{1}$ （同样有 $h_{21}$ ，那么 $a_{21}=qu_{2}u_{1}$ ，其他类似）。对于每个方程，有一个提取出来的留数值（从曲线拟合过程得到），但有两个模态振型值。所以关于模态振型最好这样讲，不同点之间有“相对”运动。利用留数这种相对运动可以动画，并提供丰富的信息。但是如果考虑驱动点测量结果，则那么可以看出， $h_{11}$ 得到 $a_{11}=qu_{1}u_{1}$ ，并且这个方程可以用来求出 $u_{1}$ ，接着再用它来将所测的所有其他项进行归一。

我经常听见有人说没有必要对模态振型进行归一，也没有必要测量驱动点结果。尽管为了目测观察模态振型这是对的，如果没有归一因子，这个模态信息就不能用于任何进一步的分析处理。需要归一化的模态数据做进一步的分析，例如结构修改、强迫响应计算、响应预测、仿真、有限元修正等等。

因为这个例子里的模态是实模态，留数是复数但只有虚部。为了简化数值，利用 $r=2ja$ – 留数可以转化为实数表示（注意，在很多已有的商业模态软件包中，这是留数的一种常用的表达形式）。

对这个例子的1阶模态，留数‘ $r$ ’的数值是

自由度