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摘要：本文对阶比跟踪技术的进展情况进行了简单回顾，推导了3阶自适应Vold-Kalman滤波阶比跟踪算法。并进行了仿真及实验数据验证。结果表明本算法可以应用到多轴旋转系统的临近及交叉阶比分量时域信号的直接提取。
关键词： 阶比跟踪，Vold-Kalman滤波，自适应滤波，多轴系统
Abstract：Order tracking technique is reviewed simply in this paper. a 3-pole adaptive Vold-Kalman Filter order tracking algorithm is presented. Simulation and experiment data were used to evaluate this algorithm. The results are promising, and this method is applicable whether it is a single-axle or multi-axle system, close or crossing orders.
Keywords: order tracking, Vold-Kalman filter, adaptive filtering, multi-axle system
1.引言
阶比跟踪技术是结合参考轴转速信号对旋转机械升／降速过程非平稳振动信号分析的有效方法，目前比较常用的方法有：建立在角域重采样技术的传统计算阶比跟踪(COT)[1]，基于短时傅里叶变换的阶比跟踪(STFT_OA)[1],基于时变离散傅里叶变换的阶比跟踪(TVDFT_OT)[1],基于Vold-Kalman滤波的阶比跟踪(VKF_OT)[2-4]和基于Gabor展开的阶比跟踪(GOT) [5]，其中VKF_OT和GOT可实现指定阶比分量的时间波形重构。阶比跟踪中的关键技术之一是获取准确的瞬时基准转速。
Vold等提出的基于Kalman滤波的阶比跟踪(Vold-Kalman filter order tracking,VKF_OT)方法[6-8]可对多个阶比分量同时进行估计，因此它非常适用于临近或交叉阶比的分离及解耦。对于VKF_OT的研究主要有丹麦B&K公司，B&K公司对其进行商业化，集成到Pulse系统中[8]，另有台湾中央大学的潘敏俊等的研究工作也卓有成效[2-4,12]。其实现方法有最小二乘方法[9-11]和自适应递推最小二乘方法[4,12-14]。前者由于要进行大量的矩阵运算，只能离线处理；而后者由于采用递推算法可以在线处理。
本文对自适应VKF _OT理论进行研究，通常文献中给出的是2阶结构方程，本文推导了3阶结构方程的算法，给出了其实现过程，最后进行了仿真及实际测试数据验证。
2.VKF_OT理论基础
旋转机械中的第k阶阶比分量可以设为一个被调制的正弦波形，载波是幅值恒定而频率等于阶比对应频率的正弦波，包络代表了阶比幅值的变化，表示为如下的形式
其中，a_k (t)表示复包络，a_{-k} (t)是a_k (t)的复共轭。\theta_k (t)为载波，可表示为
其中\omega(u)表示参考轴的瞬时转速，因此 \int _{0}^{t} \omega(u)du为参考轴转过的角位移。式2）的离散形式可表示为
Vold_Kalman滤波器包含两个方程：结构方程和数据方程。结构方程定义了局部约束条件：待定的复包络为光滑的。数据方程表明测量信号可以用一组阶比谱分量合成而来。
2.1结构方程
由于旋转机械的惯性，包络a_k (t)为一个相对低阶的多项式，进一步讲，它满足如下方程
(d^s a_k (t))/〖dt〗^s =ψ_k (t) [4]
其中，ψ_k (t)为a_k (t)的高阶项，式4）的离散形式为?^s a(n)=ψ_k (n) [5]
其中，?表示差分算子，s为差分阶数，当s=3时，5）式可表示为
a_k (n+1)-3a_k (n)+3a_k (n-1)-a_k (n-2)=ψ_k (n) [6]
可改写为a_k (n+1)=3a_k (n)-3a_k (n-1)+a_k (n-2)+ψ_k (n) [7]
7）式的矩阵形式为[█(a_k (n-1)@a_k (n)@a_k (n+1) )]=[█(0 1 0@0 0 1@ 1-3 3)][█(a_k (n-2)@a_k (n-1)@a_k (n) )]+[█(0@0@ψ_k (n) )] [8]
令A_k (n+1)=[█(a_k (n-1)@a_k (n)@a_k (n+1) )], A_k (n)=[█(a_k (n-2)@a_k (n-1)@a_k (n) )], M=[█(0 1 0@0 0 1@ 1-3 3)],及 Ψ_k (n)=[█(0@0@ψ_k (n) )]
因此，式8）可表示为A_k (n+1)=MA_k (n)+Ψ_k (n) [9]
为了同时追踪多个阶比/谱分量，推广9）式至包含K阶的情况
[█(A_1 (n+1)@A_2 (n+1)@?@A_K (n+1) )]=[█(M 0 ? M@0 M ? 0@ ? ? ? ?@0 0 ? M) ][█(A_1 (n)@A_2 (n)@?@A_K (n) )]+[█(Ψ_1 (n)@Ψ_2 (n)@?@Ψ_K (n) )] [10]
令A(n+1)=[█(A_1 (n+1)@A_2 (n+1)@?@A_K (n+1) )]， A(n)=[█(A_1 (n)@A_2 (n)@?@A_K (n) )]， Z(n)=[█(Ψ_1 (n)@Ψ_2 (n)@?@Ψ_K (n) )]
及 F(n+1,n)=[█(M 0 ? M@0 M ? 0@ ? ? ? ?@0 0 ? M) ]。因此，10）式可写为
A(n+1)=F(n+1,n)A(n) + Z(n) [11]
式11）是自适应VKF_OT的结构方程，对应于Kalman滤波器的过程方程。
2.2数据方程
测量信号y(n)可以表示为多个阶比分量x_k (t)以及测量噪声的合成
y(n)=∑_(k∈j)?〖a_k (n) θ_k (n)+ξ(n) 〗 [12]
其中整数j(=±1,±2,±3,…,±K )表示待追踪阶比分量的阶数，ξ(n)包含其它的阶比分量及测量噪声。令行向量B_k (n)=[0 0 θ_k (n)]，则12）式可写为
y(n)-[B_1 (n) B_2 (n) B_3 (n) ? B_K (n)][█(A_1 (n)@A_2 (n)@?@A_K (n) )]=ξ(n) [13]
或写为y(n)=B(n)A(n)+ξ(n)，其中B(n)=[B_1 (n) B_2 (n) B_3 (n) ? B_K (n)]，方程13）是自适应VKF_OT的数据方程，对应于Kalman滤波器的量测方程。
3. 基于单步预测的Kalman滤波器
阶次跟踪问题可以看作是Kalman滤波过程的状态估计问题。在过程方程中的Z(n)向量代表过程噪声，可建模为零均值的白噪声过程，其相关矩阵定义为
E[Z(n) Z^H (m)]={█(Q_1 (n), n=m@0, n≠m)┤ [14]
对过程噪声的相关矩阵来讲，E[ψ_k (n) ψ_l^* (m)]={█(Q_1^(k,l) (n), n=m∩k=l@0, n≠m∪k≠l)┤ [15]
ξ(n)是Kalman滤波器的量测方程的测量噪声，是零均值的白噪声过程，其相关矩阵定义为E[ξ(n) ξ^* (m)]={█(Q_2 (n), n=m@0, n≠m)┤ [16]
过程噪声与测量噪声相互独立，因此，对任意的n，m，E[ψ_k (n) ξ^* (m)]=0 [17]
Q_1 (n)和Q_2 (n)的关系通过加权系数联系在一起，Q_2 (n)=r^2 (n) Q_1^(k,l) (n) [18]
基于单步预测的Kalman滤波器的阶比跟踪算法如下[15]：
输入向量过程：
观测值 = {y(1)，y(2)，?，y(n)}
已知参数：
转移矩阵 = F(n+1,n)
测量矩阵 = B(n)
过程噪声的相关矩阵 = Q_1 (n)
测量噪声的相关矩阵 = Q_2 (n)
计算：n=1,2,3,…
Kalman增益矩阵
G(n)=r(n)F(n+1,n) K(n,n-1) B^H (n)[B(n)K(n,n-1) B^H (n)+Q_2 (n)] [19]
信息向量 α(n)=y(n)-B(n) A??(n|y_(n-1) ) [20]
预测估计 A??(n+1|y_n )=F(n+1,n) A??(n|y_(n-1) )+ G(n)α(n) [21]
Raccati方程求解器 K(n)=K(n,n-1)-F(n+1,n)G(n) B(n) K(n,n-1) [22]
K(n+1,n)=F(n+1,n) K(n) F^H (n+1,n)+Q_1 (n) [23]
初始条件：
A??(1|y_0 )=0 [24]
K(1,0)=δI [25]
其中I为3K×3K的单位阵，δ为一个足够大的值。
4. 算法实现过程
第1步，对旋转机械的振动信号和转速脉冲信号进行数据采集；
第2步，通过计算转速脉冲，得到基准转轴的瞬时转速和阶比分量角位移估计；
第3步，进行参数设置，按照19-23)式递推计算阶比分量包络A??；
第4步，通过公式1）x_k (n)=a_k (n) θ_k (n)+a_(-k) (n) θ_(-k) (n)=2Re(a_k (n) θ_k (n)) 进行计算得到第k阶时域阶比分量。
5. 实验验证
5.1仿真实验
仿真一个包含两个参考轴转速信号的复杂旋转机械系统升速阶段的振动信号，1#轴转速在10秒内线性增加到3000rpm，2#参考轴为恒定转速3000rpm。两轴的振动信号描述如下：
1#轴
阶比
1
3
3.2
7
幅值
从0到10
线性增加
从3到13
线性增加
从5到15
线性增加
20
恒定值
2#轴
阶比
1
2
幅值
10
20
图1为仿真信号时频谱图。
采用自适应VKF_OT算法提取的各个阶比信号见图2，图3。其中图3是局部放大图，可见提取的各阶比信号跟仿真信号几乎一致，说明本算法对于多轴系统振动信号的临近及交叉阶比的提取非常有效。
图1. 仿真信号时频谱图
图2. 提取的各阶比时域信号波形图
图3. 各阶比信号局部放大图
5.2实测实验
图4中的数据为一个转子教学实验系统的升速过程的振动信号。从其对应的时频谱图5中可知此振动信号中含有100Hz的干扰信号，在12-16秒时段内，1，2，3阶分量明显，其中又以1阶分量为主。图6为通过自适应VKF_OT算法提取的阶比分量。
图4. 升速过程振动信号 图5. 振动信号时频谱图
图6. 提取前3个阶比及100Hz信号的时域波形
6.结语
本文首先对阶次跟踪算法进行了简单介绍，接着推导了3极点自适应VKF_OT算法，并进行了仿真及实际测试数据验证。表明采用本算法可实现在时域中提取复杂旋转机械的阶比成分，并且能够有效地解决多轴系统临近及交叉阶比成分的提取问题。
Adaptive Vold-Kalman Filter Order Tracking Technique and its Application
Dong Shu-wei
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