MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD
模态空间 – 在我们自己的小世界中 Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器 董书伟（译）
你能解释一下互易性吗？对我来说这根本没有意义。
这件事经常让人感到困惑。
2014年05月19日 发布 ver1.0
好吧 – 我们讨论一下模态试验时的测量结果互易性。这是一个非常重要的内容。人们说的话，但有时他们真的不相信它 – 主要因为测量时，为何实际测量结果可能不满足理论的互易性要求是有很多原因的。
我们首先简单地说明一下什么是互易性。图1显示出一幅图，其中，输入-输出测量结果要在点“i”和点“j”进行测量。现在，在一次测量中，在点“i”施加力，在点“j”测量响应。而在第二次测量中，在点“j”测量力，在点“i”测量响应。根据互易性原理，h_{ij}必然等于h_{ji}。
图 1 – 互易性测量的示意图
根据可能的完整测量结果，图2显示了一个频响函数矩阵，其中测量了一行和一列。在这个矩阵中，作为参考，几个互易的测量结果进行了高亮显示。
图 2 – 展示出互易测量结果的FRF矩阵
当然，你第一次试图要解释互易性给不熟悉这个概念的人，似乎总是会引起惊讶。所以我们尽量说明，在描述系统的基本方程中互易性是从哪里来的。（为说明互易性，这里必须介绍一些理论）
首先我们知道，我们从写成矩阵形式的多自由度系统的运动方程着手
\left [ M \right ]\left \{ \ddot{x} \right \}+\left [ C \right ]\left \{ \dot{x} \right \}+\left [ K \right ]\left \{ x \right \}=\left \{ F\left ( t \right ) \right \}
现在，这里值得注意的一点是，这些方程是对称的方阵（对结构系统）。这直接说明矩阵的“ij”项和“ji”项是相同的。
现在，对上面写的这个物理运动方程，我们在拉氏域内写。假定初始条件为零，也就是：
\left [ \left [ M \right ]s^2+\left [ C \right ]s+\left [ K \right ] \right ]\left \{ X\left ( s \right ) \right \}=\left \{ F\left ( s \right ) \right \}
当然，我们必须知道这个矩阵的每一项也是对称方阵。根据这个拉氏运动方程，系统矩阵[B(s)]以及它的逆矩阵，系统传递函数
[H(s)]，也都是对称方阵。也就是：
\left [ B\left ( s \right ) \right ]^{-1}=\left [ H\left ( s \right ) \right ]=\dfrac{Adj\left [ B\left ( s \right ) \right ]}{det\left [ B\left ( s \right ) \right ]}=\dfrac{\left [ A\left ( s \right ) \right ]}{det\left [ B\left ( s \right ) \right ]}
现在，经过一些运算，系统传递函数可以写成部分分式的形式，作为系统所有各阶单独模态的和。也就是：
\left [ H\left ( s \right ) \right ]=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{\left [ A_{k} \right ]}{\left ( s-p_{k} \right )}+\dfrac{\left [ A_{k}^{*} \right ]}{\left ( s-p_{k}^{*} \right )}
频响函数是系统传递函数求s = j \omega 的值，按如下给出：
\left [ H\left ( s \right ) \right ]_{s=j \omega}=\left [ H\left ( j \omega \right ) \right ]=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{\left [ A_{k} \right ]}{\left ( j \omega-p_{k} \right )}+\dfrac{\left [ A_{k}^{*} \right ]}{\left ( j \omega-p_{k}^{*} \right )}
现在，重要的是要记住留数矩阵[A(s)]也是对称方阵，因为最终构成它的所有矩阵都是对称方阵。
现在，单个“ij”测量结果可以写成：
h\left ( s \right )_{ij}|_{s=j \omega}=h_{ij}\left ( j \omega \right )=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{a_{ijk}}{\left ( j \omega-p_{k} \right )}+\dfrac{a_{ijk}^{*}}{\left ( j \omega-p_{k}^{*} \right )}
并且，展开它的前三阶模态项，得到：
h_{ij}\left ( j \omega \right )=\dfrac{a_{ij1}}{\left ( j \omega-p_1 \right )}+\dfrac{a_{ij1}^{*}}{\left ( j \omega-p_{1}^{*} \right )}
\qquad \qquad \qquad \qquad +\dfrac{a_{ij2}}{\left ( j \omega-p_2 \right )}+\dfrac{a_{ij2}^{*}}{\left ( j \omega-p_{2}^{*} \right )}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\dfrac{a_{ij3}}{\left ( j \omega-p_3 \right )}+\dfrac{a_{ij3}^{*}}{\left ( j \omega-p_{3}^{*} \right )}
但是，按照这种形式，互易性存在的很不明显。所以需要展开方程的留数形式。回想一下，系统第k阶模态的留数矩阵可以根据奇异值分解得到，写成：
\left [ A\left ( s \right ) \right ]_{k}=q_{k}\left \{ u_{k} \right \}\left \{ u_{k} \right \}^T
或者展开为：
\begin{bmatrix} a_{11k} &a_{12k} &a_{13k} &\cdots \\ a_{21k} &a_{22k} &a_{23k} &\cdots \\ a_{31k}&a_{32k} &a_{33k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}=q_{k}\begin{bmatrix} u_{1k}u_{1k} &u_{1k}u_{2k} &u_{1k}u_{3k} &\cdots \\ u_{2k}u_{1k} &u_{2k}u_{2k} &u_{2k}u_{3k} &\cdots \\ u_{3k}u_{1k} &u_{3k}u_{2k} &u_{3k}u_{3k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}
并且按照这种形式，很容易写成：
h\left ( s \right )_{ij}|_{s=j \omega}=h_{ij}\left ( j \omega \right )=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{q_{k}u_{ik}u_{ij}}{\left ( j \omega-p_{k} \right )}+\dfrac{q_{k}^{*}u_{ik}^{*}u_{jk}^{*}}{\left ( j \omega-p_{k}^{*} \right )}
另外，前3阶模态项可以展开为：
h_{ij}\left ( j \omega \right )=\dfrac{q_{1}u_{i1}u_{j1}}{\left ( j \omega-p_1 \right )}+\dfrac{{q_{1}u_{i1}u_{j1}}^{*}}{\left ( j \omega-p_{1}^{*} \right )} \qquad \qquad \qquad \qquad +\dfrac{q_{2}u_{i2}u_{j2}}{\left ( j \omega-p_2 \right )}+\dfrac{{q_{2}u_{i2}u_{j2}}^{*}}{\left ( j \omega-p_{2}^{*} \right )} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\dfrac{q_{3}u_{i3}u_{j3}}{\left ( j \omega-p_3 \right )}+\dfrac{{q_{3}u_{i3}u_{j3}}^{*}}{\left ( j \omega-p_{3}^{*} \right )}
现在，按照这种形式可以很容易地看出互易性。这是因为留数只不过是第i自由度的模态振型值乘以第j自由度的模态振型值（加上一些其他常数项）。这表示我们在点“i”还是在点“j”测量力，在另一个点测量响应时，这是无关紧要的 – 模态振型在输入和输出位置的值的积是相同的。所以对这种情况，互易性必然发生。举个例子，一个简单的3×3频响矩阵的幅频如图3所示。显然，在矩阵中可以看到互易性。注意实部、虚部和相位也是对称的，但为简洁起见，没有显示。
图 3 – FRF矩阵幅频图
当然，这是理论表示，必然为真。但是，测量结果可能并不总是那么配合。在将来某个时间会讨论这个内容。
我希望这个讨论澄清了所有关于为什么互易性必然为真的困惑。尽管介绍了一些理论方程，但为了说明互易性必然为真，它们是需要的。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。
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