71.模态空间09.10-当传递函数沿着频率轴求值时,阻尼是零。这意味着系统中没有阻尼吗?

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中  Peter Avitabile() KSI科尚仪器董书伟(译)

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当传递函数沿着频率轴求值时,阻尼是零。

这意味着系统中没有阻尼吗?让我们来澄清这个令人迷惑的问题。

2014年08月19日 发布 ver1.0

嗯,我发现对很多人来讲这成了一个让人困惑的问题。所以我们来讨论一下这个问题,并解释在这件事上实际发生了什么。因此在这个过程中,作为讨论的一部分,这里我要讨论几个内容。

首先,我们按部分分式形式写出系统传递函数

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并且了解对于一个欠阻尼系统,这个函数的根或极点可以写为

71-Oct2009-eq2

因为这个函数是复数的,根将是两个变量σ和ω的函数,它们是根的实部和虚部。分子称为系统传递函数的留数(这么命名是因为它来自于用于对这个函数求值的留数理论)。

现在,当我们画这个函数时,图形将呈现为一个面,因为函数由两个独立的变量,称σ和ω,来定义的。所以如果我们保持σ不变,而改变ω,将会生成一个复数值的矩阵。因为数值是复数的,我们可以分别画出实部和虚部的图,但是我们也能够画出函数的幅值和相位。无论如何,可以按照这些形式中的任何一种画出这个面来描述系统传递函数。

这点如图1所示(来自于Vibrant Technology公司网页)。我们可以讨论系统传递函数的每一个细节,但是为了此处的讨论,我确实想把精力集中于这个函数的幅值。(但我们总要记住这是个复值的函数,有实部和虚部,或者说幅值和相位来描述这个整体函数。)

所以当我们说,我在σ=0求这个函数的值时,我们并不是真的说阻尼是零,而是说这个函数沿着jω轴求值。

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图 1 – 系统传递函数

现在如果我们写这个方程,按照这种方法来求值,那么我们可以将频响函数写为

71-Oct2009-eq3

但是如果我们要观察沿着jω轴求值的系统传递函数的幅值,投影沿着那个轴切开的面,我们能够看到如图2所示的图形,它是投射自那个切片。这是我们在FFT分析仪中测量到的 – 频响函数。并且我们可以看到只有一个独立的变量ω,用来描述那个函数。我们也可以注意到我们现在只有一条曲线,而不是一个描述系统传递函数的面。

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图 2 – 系统传递函数(幅频)及频响函数

所以现在我们有了一种手段,掌握这个频响函数从何而来。现在我想要描述曲面和系统传递函数面。嗯,这个面看上去像个有两个柱子的帐篷,所以我想用这个跟一个婚礼做个类比,关于帐篷下的座椅安排。我们知道座椅安排有两方 – 新娘和新郎(极点和共轭极点)。现在你可以坐在任何一方,取决于你属于婚礼聚会的哪一方。

假设你属于婚宴的新郎方,你坐在头排2座。现在你坐下,向上看,你会观察到帐篷在你头部上方一定高度(在那个特定的σ和ω值位置的幅值)。你也会注意到新娘一方(共轭)在头排2座的位置有一个镜像座位;座位上方的高度在幅值上是一样的。

但是假设其他有人坐在新郎一方的2排3座。现在在这个点上,帐篷的高度比第1种情况还高。另外当然,在新娘一方也有一个镜像座位有相同的高度。

所以这些座位的每一个在座位上方都有特定的帐篷高度。那个高度构成到帐篷的面。但是你注意到在两侧都有一个座位与柱子所在的位置相对应;这与方程的根类似,根是复数共轭对。注意没人可以坐在那儿,没人能真的告诉那个位置的帐篷高度,因为它没有定义;在极点(根)位置不能确定系统传递函数的幅值,因为在那个位置它没有定义。

所以这个帐篷类比是系统传递函数的良好描述。函数的值由座位面上的位置所决定。幅值跟随位置而变。在系统极点或系统根的位置上,系统传递函数没有定义;这是帐篷柱子所在的位置,没人可以坐在那个位置来确定帐篷的幅值或高度。(我们用留数理论对此进行求值。)

另外当然我们都知道第1排是最重要的排。事实上,这就是傅立叶先生落座的地方 – 就是沿着jω轴 – 这是我们从系统传递函数取出来的切面。

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图 3 – S-平面的表示形式

所以我希望这些简单的例子更好地阐明了系统传递函数、频响函数和他们相互之间的是如何联系的。关于最近的一次婚礼的最后一点话题是邀请伴郎介绍新人亲友团。他做得一直都很好,直到他介绍(第一次)新郎和新娘为约翰和安吉拉 – 这也是最后一次,因为新娘的名字不是安吉拉!好了,扯远了。

如果你有关于模态分析的任何其他问题,尽管问我好了。

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