76.模态空间10.08-我老是听说模态参与，那到底是什么意思？

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中     Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器 董书伟（译）

我老是听说模态参与。那到底是什么意思？好吧 – 我们讨论一下这个问题。

2014年04月13日 发布 ver1.0

尽管人们总是讨论模态参与，但是当他们讨论它时，或许真的并不清楚它们指的是什么。所以我们讨论一下这个概念究竟是怎么回事，并用可能更合适的方式来讲解这些。

但是为了将它放到上下文背景中去，我们写出运动方程

\left [ M \right ]\left \{ \ddot{x} \right \}+\left [ C \right ]\left \{ \dot{x} \right \}+\left [ K \right ]\left \{ x \right \}=\left \{ F\left ( t \right ) \right \}

并认识到根据特征值求解得到模态变换，利用模态向量的集合[U]将物理坐标{x}跟模态坐标{p}联系在一起。

\left \{ x \right \}=\left [ U \right ]\left \{ p \right \}=\left \{ u_1 \right \}p_{1}+\left \{ u_2 \right \}p_{2}+\left \{ u_3 \right \}p_{3}+\,\cdots \quad \left [ U \right ]=\begin{bmatrix} \left \{ u_1 \right \} &\left \{ u_2 \right \} &\left \{ u_3 \right \} & \cdots \end{bmatrix}

并进一步记住模态空间方程是

\begin{bmatrix} \bar{m}_1 & & \\ &\bar{m}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{p}_1\\ \ddot{p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} \bar{c}_1 & & \\ &\bar{c}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \dot{p}_1\\ \dot{p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}+ \begin{bmatrix} \bar{k}_1 & & \\ &\bar{k}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} {p}_1\\ {p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \left \{ u_1 \right \}^{T}\left \{ F \right \}\\ \left \{ u_2 \right \}^{T}\left \{ F \right \}\\ \vdots \end{Bmatrix}

那么要理解的最重要的事情是，这个方程右边具有模态振型的转置乘以施加到结构上的物理力向量。所以如果你观察感兴趣的特定阶模态，你会发现模态振型值对这个物理力有多少被分配到感兴趣的特定阶模态具有强烈的影响。

我的意思是，如果跟那个特别自由度联系在一起的模态振型值大，在这里施加了作用力，那么在模态空间中，那个特定阶模态将会有更多的作用力分配给它。另一方面，如果模态振型值小，那么模态空间中将会有更少的力分配给那个特定阶模态。并且如果模态振型值为零，那么模态空间中将不会有力分配给那阶模态 – 这意味着这个特定阶模态对于响应没有贡献，因为在模态空间中它看到没有作用力作用到那个特定模态振子上。

所以模态变换方程确定如何将耦合的所有物理方程组进行解耦，同时它也确定了模态空间中给每个模态振子分配了多少物理作用力。作用到特定模态振子的力越大，响应越大（一般情况下），在系统的总体响应中，那个特定模态贡献或参与越大。

那么我们考察一个简单的3自由度系统并观察多少力被分配到了模态空间。模型和物理空间中的运动方程如下

\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & &1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{x}_1\\ \ddot{x}_2\\ \ddot{x}_3 \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} 0.2 &-0.1 & \\ -0.1&0.2 &-0.1 \\ &-0.1 &0.2 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3 \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} 20000 &-10000 & \\ -10000 & 20000 &-10000 \\ &-10000 &20000 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f_1\\ f_2\\ f_3 \end{Bmatrix}
图1 – 简单的3自由度模型及运动方程
现在对它进行特征求解，得到频率和模态振型如下
\left [ \Omega^2 \right ]=\begin{bmatrix} 5858 & & \\ & 20000 & \\ & & 34142 \end{bmatrix}
\left [ U \right ]=\begin{bmatrix} \left \{ u_1 \right \} &\left \{ u_2 \right \} & \left \{ u_3 \right \} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} 0.500\\ 0.707\\ 0.500 \end{Bmatrix} & \begin{Bmatrix} 0.707\\ 0\\ -0.707 \end{Bmatrix} & \begin{Bmatrix} -0.500\\ 0.707\\ -0.500 \end{Bmatrix} \end{bmatrix}
现在我们考虑2个不同的激励函数。

F=\begin{Bmatrix} f_1\\ 0\\ 0 \end{Bmatrix} \quad 和 \quad F=\begin{Bmatrix} 0\\ f_2\\ 0 \end{Bmatrix}

第1种情况仅施加f₁，1阶模态上的力将是0.5*f₁,2阶模态上的力将是0.707*f₁,3阶模态上的力将是-0.5*f₁。现在，物理作用力在每个模态振子上具有不同的分配，它受模态振型值控制，振型跟力作用位置的自由度相关。

现在第2种情况仅施加f₂，对于这三阶模态，每个模态振子上的作用力将是0.707*f₂，0.0*f₂以及0.707*f₂。注意到，2阶模态看不到力，因为对于2阶模态，跟力相联系的自由度的模态振型值是零，所以我们可以说，2阶模态没有参与到系统响应中去。其模态参与是零。但这并不意味着2阶模态不存在 – 它仅仅表示对于这个特定的负载情形它于系统响应没有贡献（但对于第1种负载情况，它确有贡献）。

那么我试着举一个小例子来更好地解释这点。假设你是一家餐馆的厨师。并想象你有很多不同的菜肴你能够烹饪。在可以烹制的所有不同菜肴中，你也有很多食材和调料可用。我的问题是，在所有的菜肴中你会用相同份量的调料吗？不会。每个菜肴中你用不同份量的调料。并且在某些菜肴中有很多调味料甚至从来都没有用过。我要说的是，你没有同时用到所有的调料。仅仅是某些调味料以不同的量“参与”到每个菜肴中。

现在如果我是在烹制法国菜，某些调料会比我做日本菜更占主导。但我们的调料盒依然有所有的调料，对于我能烹饪的所有不同类型的菜肴，我或许会需要。但那并不意味着仅仅是因为它们在调味盒里，我就要用到我拥有的每一样调味料。并且某种特定的调料不会在每一样菜肴中（除非你在做意大利里菜，大蒜无处不在！）。但我认为你现在明白其中的意思了。

意大利罗勒大蒜浓菜汤
3盎司意大利烟肉，剁成碎末，3头大蒜，1杯橄榄油，
一撮牛至，1/2杯意大利番茄酱，1茶匙鸡汤，1汤匙盐，
1撮胡椒粉，10盎司直通粉，3汤匙鲜罗勒，1杯巴马干酪

另一个很好的例子是管弦乐队。乐队中有很多乐器。每个乐谱不会同时用到所有乐器。事实上随着某个谱子的演奏，来自于每种乐器的贡献将不断变化。有时管号占主导，有时弦乐器是最强音。并且随着谱子的演奏，每种乐器将根据特定音乐的编排按照不断变化的程度参与其中。某些谱子有时不需要来自于某些乐器的任何贡献（像后面带三角的家什）。但是管弦乐队总是由所有管弦乐器组成 – 但对于乐队演奏的每首不同的曲子，所有的乐器具有不断变化的参与程度。

嗯，任何结构系统的响应也是同样的。系统的总体响应是系统中可能存在的所有阶模态子集的线性叠加而构成的。对于可能存在的每种激励条件，不是所有阶模态都对响应有贡献。仅仅是某些模态可能有显著贡献，某些模态可能有点贡献，而某些模态或许根本没有任何贡献。所有阶模态的这个贡献量是变化的，依赖于考虑什么样的负载条件。所以某些阶模态具有不同的模态参与，依赖于考虑什么样的负载情况。

但是重要的是要理解，在模态空间中决定分配到模态振子的力的量上，以及物理系统中力的分配上，模态振型发挥了重要的作用。因此理解模态振型同样有助于确定施加于系统所有阶模态上的作用力。

我希望这个解释有助于你更好地理解模态参与。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。

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