7.模态空间99.02 — 曲线拟合搞得我一头雾水！所有这些不同的技术是什么意思？

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中     Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器 董书伟（译）

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曲线拟合搞得我一头雾水！所有这些不同的技术是什么意思？

说来话长了…

对大多数人来讲，曲线拟合可能是整个试验模态分析过程中最难的部分。实际上，最好称它为模态参数估计。但那有点绕口 — 所以我们一般就称它为曲线拟合。但实际上我们是试图从测试数据中提取模态参数（频率，阻尼和模态振型）。让我们首先讨论一些一般性的内容。

从根本上讲，我们需要根据系统的振动模态来描述系统。例如，图1所示的三阶模态系统可以根据下面的系统频响函数表达式来描述

h_{ij}\left ( j \omega \right )=\displaystyle\sum_{k=1}^{3}\dfrac{a_{ijk}}{\left ( j \omega-p_{k} \right )}+\dfrac{a_{ijk}^{*}}{\left ( j \omega - p_{k}^{*} \right )}

或者分解为各阶模态的贡献
h_{ij}\left ( j \omega \right )=\dfrac{a_{ij1}}{\left ( j \omega-p_{1} \right )}+\dfrac{a_{ij1}^{*}}{\left ( j \omega-p_{1}^{*} \right )}+\dfrac{a_{ij2}}{\left ( j \omega-p_{2} \right )}+\dfrac{a_{ij2}^{*}}{\left ( j \omega-p_{2}^{*} \right )}+\dfrac{a_{ij3}}{\left ( j \omega-p_{3} \right )}+\dfrac{a_{ij3}^{*}}{\left ( j \omega-p_{3}^{*} \right )}

现在当你开始观察这个测量结果时，很快会想到几个问题。我应该用多少数据点？模型阶数该是多少？曲线拟合算子的带外模态有什么影响吗？需要应用相同的技术于所有阶模态吗？我什么时候用单自由度，什么时候用多自由技术？我该用时域还是频域曲线拟合算子？（而最应该想起来的是 — 哎呀，我多么希望那天我是去听模态课了，而不是跑出去开派对了！）
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首先，让我们考虑某个简单的测力计校准数据，图2所示。现在，如果在不受载荷情况下，测力计应该读到零值，则图2a代表了数据的最优直线拟合 — 但是，那个拟合看起来不是很好。另一方面，测力计要是有预载荷，情况又是怎样呢？那么，可能需要允许来点补偿，如图2b所示。另外，要是有些测量数据超出力传感器的有效范围，情况又是如何呢？很可能仅仅应该使用一部分数据，如图2c所示。另外，谁说力传感器是线性的，可以用y=mx+b来一阶近似了？我有可能设想用一个三次函数来更好地描述测量数据。出于某些原因，人人都理解这个测力计的例子，但却很难认识到我测量的FRF也有相同的特性。从根本上讲，分析人员必须确定模型阶数，用多少数据量，以及是否需要进行残余项补偿，如图3所示。表示这个测量结果的基本方程如下
\left [ H\left ( s \right ) \right ]= lower \; residuals \,+\,\displaystyle\sum_{k=i}^{j}\dfrac{\left [ A_{k} \right ]}{\left ( s-s_k \right )} +\dfrac{\left [ A_{k}^* \right ]}{\left ( s-s_{k}^* \right )}\,+\,upper \;residuals

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大致说来，选择一段模态进行拟合，指定模型阶数，以及确定包含残余项。

现在，我需要知道何时使用单自由度或多自由度技术。我所需要知道的是，一阶模态与相邻的下一阶模态在多大程度上有模态重叠。图4显示了对于两自由度系统的各种不同情况。图4a表示各阶模态分离的很开，并且具有很小的阻尼。此类多阶模态可以用单自由度拟合来近似。图4b表示各阶模态相邻的很近，并且带有很小的阻尼。

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一阶模态与相邻的下一阶模态有些重叠，这或许不能用单自由度拟合来正确地补偿。对于这两阶模态，有可能需要用多自由度拟合。图4c表示分得很开的模态，但阻尼引起一定程度的重叠，这可能需要用多自由度拟合。但是，对于后面这两种情况，你或许可以试试单自由度拟合，来与多自由度拟合进行对比。图4d表示各阶模态相邻的很近，并且具有大阻尼。对此情形，这就需要用多自由度拟合。

最后一件要考虑的事情是，是要用时域技术还是要用频域技术？从本质上讲，数学关系式是相同的 — 只是看起来不一样。很多情况下，我们按某种形式写出关系式，是因为有些数学技巧在其中，这样使得方程更易于求解，或者从计算的角度来看，更高效。但是，从本质上讲，这两个域是等价的。无论如何，很多时候对于小阻尼系统，我们倾向于用时域技术；而对于大阻尼系统，我们倾向于用频域技术。

如果现在观察图5，对于这个测量结果来讲，要估计模态参数，我该怎样去想才是恰当的呢？嗯，对第一个峰，利用单自由度有可能是正确的。但是模态2和模态3相邻的太近，不能用单自由度。这样，对这些模态，很有能要用多自由度技术。要意识到的另外一件事情是，光标间不需要重叠或者覆盖整个频率区间。记住，我们是要试图提取参数，对系统辨识出每一阶模态的频率、阻尼和留数信息。

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我们真的需要花更多的时间来讨论每种技术的全部细节，但是当下没有足够的时间来面面俱到。但是这个概述应该可以让你对所涉的某些概念有个初步认识。好好思考一下我们讨论过的内容，或许在下一次，我们可以更详尽地讨论每种技术。如果你有模态分析的任何其他问题，问我好了。

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《振动：解析与试验模态分析》辛辛那提大学 Randall J. Allemang教授(著) KSI科尚仪器 董书伟(译)…