8.模态空间99.04 — 我还是不理解曲线拟合… 你是怎样从FRFs中得到模态振型的?

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中     Pete Avitabile() KSI科尚仪器 董书伟(译)

Apr99-01

我还是不理解曲线拟合… 你是怎样从FRFs中得到模态振型的?

嗯…那我们看看能否澄清这个问题。

到目前为止,对大多数人来讲,模态参数估计(通常称为曲线拟合)可能是试验模态分析中最难以理解的部分。我知道我可以写出所有的公式来解释这点。但是,我可能会烦死你。我不但必须要写出关于模态参数估计过程的所有公式,而且我也必须指出这些公式建立了留数与模态振型之间的关系。另一方面,留数当然是另一个抽象的概念。(哎呀,我多么希望,人们以前就称它为模态振型,而不是留数,因为,这只会搞得大家一头雾水。)

上次(1999年2月),我们曾经讨论了曲线拟合模型,以及用于估计参数的基本公式,其中一种形式表示如下

Apr99-equ01

现在,矩阵[A]中的那些项是留数,是从曲线拟合过程中得到的;我们同时从公式的分母中得到极点,或频率和阻尼。现在,这些留数可以证明与模态振型有关。不必深入到每一步,我们可以得到如下的关系式(将某些项展开)

Apr99-equ02

好了,如果我们来观察矩阵的每一列元素,可以看出列元素中包含模态振型,带有某些标量乘数;我们同时也可以看出,因为互易性,各行也包含模态振型。如果我们观察某一列,例如第1列,那么,我们可以看到

Apr99-equ03

因此,留数无非是模态振型乘以一个标量因数 — 模态振型在参考点位置的数值u,同时乘以归一常数q。(归一常数q允许模态振型可以用不同的归一常数来表示(单位模态质量,单位长度,等。)

太好了,这样,可能有些公式你能完全理解或领会,也可能不能完全理解或领会。或许解释这个概念的更好办法是借助于一些简单的图形。让我们回过头来看看先前时候讨论过的那个简单平板(1998年1月),同时,也很简单地来解释我们是如何从测量结果中得到模态振型的(这样,你或许可以领会数学可以为我们做什么?)。
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现在,我们在平板上进行测量,这样我们共得到6个FRFs — 在4个角以及2个中点位置。从这些测量结果中,我们希望能够确定前两阶模态看起来是什么样子。现在,我们可以观察FRFs的对数幅值,但这不是很有用,因为在这个图上,所有的峰都将是正的。

FRF的虚部是一个包含更多信息的图形。这不但显示了幅值,而且,更重要的是,显示了响应的方向。不去深入研究全部专业的数学内由,我们知道,FRF的虚部的峰值幅度与留数直接相关(同时,留数与模态振型相关)。这个近似公式如下所示

Apr99-equ04

通常称这个非常简单的确定模态振型的方法为峰值拾取法,因为我们拾取了FRF的峰值。现在,针对每个测点位置的各个测量结果,我们观察某些峰值。(在所示的所有图形中,幅值的刻度范围从-1到+1,并且短划线是1/2。另外,去掉了频率轴。)现在我们首先主要研究1阶模态,然后再考察2阶模2。

观察1阶模态的测点1的FRF。注意到,这个幅值是0.5,并且是负的。如果我们观察测点2,则我们看到幅值也是0.5,并且也是负的。这意味着,对1阶模态,测点1和测点2按照相同的幅度、相同的方向运动。如果我们观察测点5和测点6,我们可以看到跟测点1和测点2相同的情况。这样一来,我们可以看出测点1、2、5、和6都是按照相同的幅度,相同的方向运动。

此处,要说明的非常重要的一点是,如果我仅仅测量这4个点,那么在我看来,平板的模态振型将是刚体模态(所有4个点按照相同的幅度一起运动)。用于描述系统模态振型的测点太少时,这是个常见的问题。

现在,对于1阶模态来讲,观察测点3。注意到,因为幅值是0.5,且是正的。那么,测点4也是如此这般。因此,我们看到,测点3和测点4具有相同的幅度,并且按照相同的方向一起运动。但是我们也注意到,测点3和测点4是按照与其他测点的相反的方向运动的。现在,尽管我们测量的点不超过6个,但我们开始看到了平板正在变形成一种形式,一种平板弯曲的特征形式。如果我们测量了更多的点,那么我们将会看到一个更加明确的模态振型。

现在,如果我们观察2阶模态,我们可以一步一步来考察,并且观察所有测点,这样,我们将看到的是,测点1和2具有相同的幅度,但是现在它们按相反的方向运动。对于测点5和6,情况也是如此。但是,我们注意到,测点1和5也是按照相反的方向运动;测点2和6同样如此。这样,我们看出,对于模态2,存在某种扭曲或扭转类型的变形形式。如果我们观察测点3和4,我们注意到,这些点具有零值。这是因为测点3和4是平板扭转模态的节点。同样,添加更多点可以更好地确定振型。

所以现在我们可以看出,对于每阶模态的峰值,FRF虚部的峰值与平板模态振型直接相关。不必深细所有的数学内在根由,留数是从曲线拟合过程中提取出来的因项,并且这些留数与平板的模态振型直接相关。为使情况简单起见,已经按照图形方式说明了这一点。

我希望,这个解释有助于澄清关于我们是如何从FRFs中得到模态振型的这个谜团。好好思考一下这个问题,如果你有关于模态分析的如何其他问题,问我好了。

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