MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD
模态空间 – 在我们自己的小世界中 Peter Avitabile(著) KSI科尚仪器董书伟（译）
你确信可以从频响H矩阵的一行或一列得到模态振型吗？当然确信无疑!
那我们来看一个例子吧。
我们还是利用以前讨论过的梁为例子。对这个梁，我们考虑3个测点。可以测量的可能存在的输入-输出FRFs共有9个。记住，我们曾经讨论过，这些测量结果可以从激振器试验或者锤击试验中得到。这样一来，我们有几个数字可以讨论，梁的模态振型数字如图1所示。（为了讨论的目的，将简单设定数值。）
先前时候，我们曾经说过，FRF的虚部峰值是如何与留数直接相关的（留数与模态振型直接相关）。事实上，我们说过留数可以根据下式来近似
并且，模态振型的每个数值可以从下式得到
现在，我们用图形来表示这个具有3个测点的梁的FRF矩阵。我可以去显示FRF的任意不同部分。但是事实证明，对于本次讨论，FRF虚部的信息最丰富，因为它不但指出了幅值而且指出了方向。所有的图形具有相同的刻度范围-10～+10。如图2所示。
现在，利用测量结果的第3行来确定1阶模态的振型；这意味着测点3为参考点。现在，对1阶模态，如果我要拾取FRF的峰值，则峰值的幅度与悬臂梁第1阶模态的振型成比例，如图3所示。
如果你观察第1阶模态的测点1、2、和3的幅值，会发现它们分别是-2、-5和-8。这些数值是图1所示的模态振型的数值。（注意，为了易于解释数据，我已经将这些数值进行了任意的归一。另外也要注意，振型可以是正的，也可以是负的，因为“形状”是一样的。）
现在，利用FRF矩阵的第2行。如果拾取1阶模态的FRF峰值，那么这些幅值又一次与悬臂梁第1阶模态的振型成比例，如图4所示。
如果你观察1阶模态的测点1、2、和3的幅值，会发现它们分别近似等于-1.2、-3.13、和-5。乍看之下，这些数值看上去不一样，但是我们可以注意到，“比值”或“形状”与以前的情况完全相同。
实际上，如果我对根据第3行得到的模态振型数值进行归一，比例因子等于参考点2处的模态振型值（5.0）比上参考点3处的模态振型值（8.0），那么我可以得到上面列出的根据FRF第2行得到的模态振型\begin{bmatrix} 2\cdot \left ( \frac{5}{8} \right )=1.2\;, &5\cdot \left ( \frac{5}{8} \right )=3.13\;, & 8\cdot \left ( \frac{5}{8} \right )=5 \end{bmatrix}。基于模态振型与留数相关的理论，这正是我所期望得到的那样。所以我并不惊讶。（我们也可以观察FRF矩阵的第1行，同样可以得到相同的结果）
于是可以看到，我们能够从FRF矩阵的任意一行得到梁的模态振型。如果我们记得互易性成立的话，那么，我们知道，不同的行或列包含了相同的信息。因此现在我还可以看到，模态振型存在于FRF矩阵的每一列中。这就是为什么我们说，你可以利用FRF矩阵的任意一行或列来估计模态振型。当然，我可以写成所有的公式来说明这点，但是这个按图形方式表示的描述是足够的了（并且我知道，当我开始写公式时，你是怎样地讨厌它！）
现在观察2阶模态，并且利用FRF矩阵的第3行。如果拾取2阶模态的FRF峰值，这些峰的幅值与悬臂梁第2阶模态的振型成比例，如图5所示。
如果观察测点1、2、和3的幅值，会看到它们分别是3、0、-8。它们是图1所示的模态振型的数值。
但是对2阶模态，当观察FRF矩阵的第2行时，却没有2阶模态的相关信息。这又是怎么发生的？怎么，2阶模态在测点2位置的模态振型的数值为零 — 它是模态的节点。无论什么时候，当我们使用的输入位置或响应位置位于节点（零振型值）时，那么我们将无法从那个参考点位置观察到模态。
最后一张图或许有助于为你将所有信息汇总在一起。图7显示了在梁上采集到的15个频响测量结果虚部的瀑布图；图2中响应的3个测量结果用红色显示出来。在这个图中，与1阶模态相关的信息用蓝色显示，2阶模态用红色，而3阶模态用绿色。我们看到，可以从FRF的虚部峰值得到模态振型。从这些图中，我们可以看到这个悬臂梁的第1阶、第2阶、和第3阶弯曲振型。
因此，综上所述，我们可以说，你可以利用FRF矩阵的任意一行或一列来估计系统的任意一阶模态，只要参考点没有位于某一阶模态的节点之上。我希望这个讨论解答了你的问题。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。
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