10.模态空间99.08 — 你确信可以从频响H矩阵的一行或一列得到模态振型吗?当然确信无疑!

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中  Peter Avitabile() KSI科尚仪器董书伟(译)

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你确信可以从频响H矩阵的一行或一列得到模态振型吗?当然确信无疑!

那我们来看一个例子吧。

我们还是利用以前讨论过的梁为例子。对这个梁,我们考虑3个测点。可以测量的可能存在的输入-输出FRFs共有9个。记住,我们曾经讨论过,这些测量结果可以从激振器试验或者锤击试验中得到。这样一来,我们有几个数字可以讨论,梁的模态振型数字如图1所示。(为了讨论的目的,将简单设定数值。)

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先前时候,我们曾经说过,FRF的虚部峰值是如何与留数直接相关的(留数与模态振型直接相关)。事实上,我们说过留数可以根据下式来近似

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并且,模态振型的每个数值可以从下式得到

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现在,我们用图形来表示这个具有3个测点的梁的FRF矩阵。我可以去显示FRF的任意的不同的部分。但是事实证明,对于本次讨论,FRF虚部的信息最丰富,因为它不但指出了幅值而且指出了方向。所有的图形具有相同的刻度范围-10~+10。如图2所示。

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现在,利用测量结果的第3行来确定1阶模态的振型;这意味着测点3为参考点。现在,对1阶模态,如果我要拾取FRF的峰值,则峰值的幅度与悬臂梁第1阶模态的振型成比例,如图3所示。

如果你观察第1阶模态的测点1、2、和3的幅值,会发现它们分别是-2、-5和-8。这些数值是图1所示的模态振型的数值。(注意,为了易于解释数据,我已经将这些数值进行了任意的归一。另外也要注意,振型可以是正的,也可以是负的,因为“形状”是一样的。)

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现在,利用FRF矩阵的第2行。如果拾取1阶模态的FRF峰值,那么这些幅值又一次与悬臂梁第1阶模态的振型成比例,如图4所示。

如果你观察1阶模态的测点1、2、和3的幅值,会发现它们分别近似等于-1.2、-3.13、和-5。乍看之下,这些数值看上去不一样,但是我们可以注意到,“比值”或“形状”与以前的情况完全相同。

实际上,如果我对根据第3行得到的模态振型数值进行归一,比例因子等于参考点2处的模态振型值(5.0)比上参考点3处的模态振型值(8.0),那么我可以得到上面列出的根据FRF第2行得到的模态振型[ 2 (5/8) =1.2, 5 (5/8)=3.13, 8 (5/8)=5 ]。基于模态振型与留数相关的理论,这正是我所期望得到的那样。所以我并不惊讶。(我们也可以观察FRF矩阵的第1行,同样可以得到相同的结果)

于是可以看到,我们能够从FRF矩阵的任意一行得到梁的模态振型。如果我们记得互易性成立的话,那么,我们知道,不同的行或列包含了相同的信息。因此现在我还可以看到,模态振型存在于FRF矩阵的每一列中。这就是为什么我们说,你可以利用FRF矩阵的任意一行或列来估计模态振型。当然,我可以写成所有的公式来说明这点,但是这个按图形方式表示的描述是足够的了(并且我知道,当我开始写公式时,你是怎样地讨厌它!)

现在观察2阶模态,并且利用FRF矩阵的第3行。如果拾取2阶模态的FRF峰值,这些峰的幅值与悬臂梁第2阶模态的振型成比例,如图5所示。

如果观察测点1、2、和3的幅值,会看到它们分别是3、0、-8。它们是图1所示的模态振型的数值。

但是对2阶模态,当观察FRF矩阵的第2行时,却没有2阶模态的相关信息。这又是怎么发生的?怎么,2阶模态在测点2位置的模态振型的数值为零 — 它是模态的节点。无论什么时候,当我们使用的输入位置或响应位置位于节点(零振型值)时,那么我们将无法从那个参考点位置观察到模态。

最后一张图或许有助于为你将所有信息汇总在一起。图7显示了在梁上采集到的15个频响测量结果虚部的瀑布图;图2中响应的3个测量结果用红色显示出来。在这个图中,与1阶模态相关的信息用蓝色显示,2阶模态用红色,而3阶模态用绿色。我们看到,可以从FRF的虚部峰值得到模态振型。从这些图中,我们可以看到这个悬臂梁的第1阶、第2阶、和第3阶弯曲振型。

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因此,综上所述,我们可以说,你可以利用FRF矩阵的任意一行或一列来估计系统的任意一阶模态,只要参考点没有位于某一阶模态的节点之上。我希望这个讨论解答了你的问题。如果你有关于模态分析的任何其他问题,尽管问我好了。

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