8. 高级模态分析概念

《振动：解析与试验模态分析》 辛辛那提大学 Randall J. Allemang教授 (著)，KSI科尚仪器 董书伟 (译)

8.1 简介

当试验模态分析的理论基础推广到实际问题时，必须将发展到目前的理论做些分类。首先要考虑的是推导更为通用和/或更为简洁的模型来表示整个频响函数矩阵[H(\omega)]或脉冲响应函数矩阵[h(t)]。这些模型必须跟之前推导的单参考点概念相一致，但同样也必须跟多参考点概念相兼容。因此，必须推广测量自由度的一般概念来对多输入多输出的问题本质做出解释。为了充分发展试验模态分析的理论基础，也必须讨论另外两个概念。这些概念包括具有重复模态频率（重根）的系统和认为不符合互易性定理的系统。

8.2 测量自由度

对于多输入多输出模型系统的一般情形，机械系统的试验定义产生于频响函数矩阵或者脉冲响应函数矩阵。这个矩阵的大小随机械系统作用力施加位置（输入）和机械系统响应测量位置（输出）的变化而变化。这个一般概念常被称之为测量自由度，以将矩阵的大小与机械系统的模态频率数N区别开来。显然，由于没有理由假定输入数与输出数相等，因此需要推广这个测量自由度的一般概念来正确地反映频响函数或脉冲响应函数矩阵的维数为矩形。为此，用N_i定义输入数，用N_o定义输出数。因此，频响函数或脉冲响应函数矩阵的维数为N_{o} \times N_{i}。

8.3 数学模型

代表模态参数和测得的频响函数或者脉冲响应函数之间关系的数学模型可以表示如下：

频响函数模型

单个测量结果：

\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\alpha_{k}(j\omega)^{k}H_{pq}(\omega)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\beta_{k}(j\omega)^{k} \qquad (8.1)

H_{pq}(\omega)=\displaystyle\sum_{r=1}^{N}\dfrac{A_{pqr}}{j\omega - \lambda_{r}}+\dfrac{A_{pqr}^{*}}{j\omega - \lambda_{r}^{*}} \qquad (8.2)

多个测量结果：

\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\Big [[\alpha_{k}](j\omega)^{k} \Big][H(\omega)]=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Big [[\beta_{k}](j\omega)^{k} \Big][\, I \,] \qquad (8.3)

[H(j\omega)]_{N_o \times N_i} = \displaystyle\sum_{r=1}^{N}\dfrac{\Big[\, A_{r} \, \Big]}{j\omega-\lambda_{r}}+\dfrac{\Big [ \, A_{r}^{*} \, \Big]}{j\omega-\lambda_{r}^{*}} \qquad (8.4)

脉冲响应函数模型

单个测量结果：

h_{pq}(t)=\displaystyle\sum_{r=1}^{N}A_{pqr}e^{\lambda_{r}t}+A_{pqr}^{*}e^{\lambda_{r}^{*}t} \qquad (8.5)

多个测量结果：

[h(t)]_{N_{o} \times N_{i}} = \displaystyle\sum_{r=1}^{N}\Big[ A_{r} \Big]e^{\lambda_{r}t}+\Big[ A_{r}^{*} \Big ]e^{\lambda_{r}^{*}t} \qquad (8.6)

其中：

尽管这些模型完全适合于多输入多输出情况，但对这些模型稍作改动，可以推导出更为适合的模型形式，这将有助于模态参数估计算法的推导。

首先，将方程的求和形式从两项简化为一项，如下：

[H(\omega)] = \displaystyle\sum_{r=1}^{2N} \dfrac{\Big [ A_{r} \Big]}{j\omega - \lambda_{r}} \qquad (8.7)
[h(t)] = \displaystyle\sum_{r=1}^{2N} \Big [ A_{r} \Big] e^{\lambda_{r}t} \qquad (8.8)

如果使用这些形式的数学模型，则对模型中关于模态频率(\lambda_{r})或模态向量( \left\{ \psi_{r} \right\}))的解，不做复共轭性质的假设。当模态参数估计出之后，对模态参数的评估可以包括比较这些项来判断其解是否符合复共轭性质。

最后，如果利用一种不同的留数形式，则完全可以去掉数学模型中的求和。为此，引入模态参与因子(L_{qr})的概念。从物理上讲，模态参与因子是由特定测量自由度在多大程度上激起了某阶特定振动模态的一种相对指示。如果对于特定模态向量，所有模态参与因子都表示在一行中，则这个向量被称为模态参与向量，维数为1 \times N_{i}。模态参与因子不唯一（具有特征向量的性质），但它和模态系数组合在一起按如下方式定义留数。

A_{pqr} = Q_{r}\psi_{pr}\psi_{qr} \qquad (8.9)
A_{pqr} = L_{qr}\psi_{pr} \qquad (8.10)
\left\{A\right\}_{qr} = L_{qr}\left\{\psi\right\}_{r} \qquad (8.11)
L_{qr} = Q_{r}\psi_{qr} \qquad (8.12)

因此，式8.10和8.11是关于留数、模态参与因子和模态系数的一般表达式。对一般情形，模态系数被认为是系统右特征向量的一个元素；模态参数因子被认为是系统左特征向量的一个元素。为此，当系统遵循Maxwell互易性定理时，则左、右特征向量都代表同一个模态向量，式8.9和8.12都成立。不过，对于一般（非对称）情形，只有式8.10和8.11成立。

由上述方程，值得注意的是只有留数是绝对而唯一确定的。模态系数\psi_{pr}和模态参与因子L_{qr}彼此互为函数，可取任意值；只有这两项的组合才是唯一的。

因为模态质量项可以根据模态归一常数Q_r确定，那么模态质量也可以根据模态参与因子L_{qr}来确定。

M_{r} = \dfrac{\psi_{qr}}{2j L _{qr} \omega _{r}} \qquad (8.13)

如果进行了这样的简化，那么现在频响函数模态可以按照下列形式写出：

[H(\omega)]_{N_{o} \times N_{i}} = \Big[\psi\Big] _{N_{o} \times {2N}} [\Lambda]_{2N \times 2N}[L]_{2N \times N_{i}} \qquad (8.14)

其中：

[\Lambda]_{2N \times 2N} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{j\omega - \lambda_1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{j\omega - \lambda_2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots\cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{j\omega - \lambda_r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots\cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{j\omega - \lambda_{2N}} \end{bmatrix}

同样，对于脉冲响应函数矩阵，也可以进行类似简化：

[h(t)]_{N_{o} \times N_{i}} = \Big[\psi\Big] _{N_{o} \times {2N}} \Big [e^{\lambda_{r}t} \Big ]_{2N \times N_{i}}[L]_{2N \times N_{i}} \qquad (8.15)

其中：

\Big [e^{\lambda_{r}t} \Big ]_{2N \times 2N} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_{1}t} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_{2}t} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots\cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{\lambda_{r}t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots\cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e^{\lambda_{2N}t} \end{bmatrix}

因为模态参与因子\left \{L \right \}_{r}是一个任意的复数归一常数，因此可以有很多其它定义。一个常用形式是根据模态参与归一来定义，以使向量L_{pr}的某个特定元素等于1。如果使用这种归一办法，模态参与因子的下面定义是成立的：

\overline{L_{pqr}}=\dfrac{L_{qr}}{L_{pr}}= \dfrac{Q_{r}\psi_{qr}}{Q_{r}\psi_{pr}}=\dfrac{\psi_{qr}}{\psi_{pr}} \qquad(8.16)

在多参考点时域模态参数估计算法的理论推导中用到了模态参与因子的这种定义形式。

8.4 重根模态频率

只要两阶或更多阶系统模态出现在完全相同的模态频率\lambda_r上，就产生了重根模态频率。这种情况也常被称为重根或重极点。从解析的角度来说，重根的出现直接决定于特征方程，就跟在其他情况中一样。现在，与重根相关的模态向量来自于系统方程（求重根处的齐次方程值），方程的秩小于满秩减一。这意味着必须要假设选择多个物理坐标，这多个物理坐标数等于重根数，而不能像非重根情况那样只选择一个物理坐标。对每个重根，这个过程要重复一次。通常，按照这种方式得到的每个模态向量彼此独立并与其他所有模态向量正交。但是集合中的每个向量没有必要相互正交。尽管从数学上看这不是个问题，但是寻找一组彼此也正交的向量将更一致些。这可以通过在向量间额外附加十字正交约束来完成。从一组独立向量中利用任意数学方法来确定一组正交向量也是可以的，只要在这个过程中用到了加权矩阵（质量和/或刚度矩阵）。注意，将有无穷多的模态向量集合满足重根情况，而不管强制施加正交约束条件与否。

从试验的角度看，为了建立机械系统的完整模态模型，重根的存在检查是非常重要的，完整的模态模型将准确地表示在任何强迫条件下的机械系统动力响应。这种情况的最常见原因是机械系统的对称性。例如，就旗杆来说，对旗杆的每个侧向弯曲模态，都有两阶振动模态出现在相同的频率上。任何时候只要机械系统存在一个轴或多个轴对称，就会发生这种情况。不过，为了检测重根情况，非常重要的注意事项是需要测量频响或脉冲响应函数矩阵的多行或多列。因此，为了检测两阶重根，必须使用频响或脉冲响应函数矩阵的独立两行或两列。注意，有可能选了并不独立的两行或两列，因此丢掉了重根。

与重根频率相关的模态向量相互独立，并且每个都与集合中的其它模态向量正交（加权）。尽管如此，与重根模态频率相关的模态向量也没有独立的固定模式，即使是如同非重根模态频率相关的模态向量那样的相对意义上的。只要当与重根模态频率相关的一组模态向量看作是一个集合时，模态向量才无论如何是独立的。就具有两个重根的模态频率来说，需要两个且是任意两个独立的模态向量来描述模态空间。做个类比，在三维图形中，可以使用两个向量来定义一个平面。有无穷多组向量可以用来描述相同的平面。平面内的任意两个向量都可以用来唯一地确定这个平面，但是这两个向量并不唯一，只是相互独立。这种情况下，独立不过意味着这两个向量不是相互的标量积。

因此，有无穷多的模态向量的组合可以作为重根模态频率的模态向量。在这种情况下，单个模态向量的准确性质不重要，因为这组模态向量将总是被看做是在一起的。乍看之下，与重根模态频率相关的模态向量通常像是完全一样的。这是由于对称性，但是仔细观察之下，利用物理坐标和方向，还是很容易看出差别的。再一次考虑旗杆的例子，因为相对于旗杆的截面，没有办法来定义唯一的x和y方向，所以在重根模态频率处，将有不只一组模态向量来描述模态变形。

就此，重根模态频响好像只是个理论概念，它对于不对称的实际结构没有多大影响。实际上，因为频响函数的离散性，一个非常实际的问题经常发生，就是多个模态频率出现在频率分辨率中间。因为通常不可能有模态密集程度的先验知识，这种情况经常发生。这被称之为伪重根模态频率。尽管从理论上讲，模态向量没有如同重根情况下的那种属性，事实上，结果是一样的。

对于具有重根或者伪重根机械系统的情况，Leuridan^{[1]}已经证明可用相同的数学模型来表示所测得的频响或脉冲响应函数数据和模态参数之间的关系。对于具有N_r阶重根模态频率的机械系统，频响函数的下列基本关系式成立。

H_{pq}(\omega) = \displaystyle\sum_{r=1}^{2N}\dfrac{A_{pqr}}{j\omega - \lambda_{r}} \qquad (8.17)

H_{pq}(\omega) =\dfrac{A_{pq1}}{j\omega-\lambda_{1}} + \dfrac{A_{qp2}}{j\omega-\lambda_{2}}+ \cdots \cdots+ \displaystyle\sum_{s=1}^{N_{r}}\dfrac{A_{pqs}}{j\omega - \lambda_{s}} + \cdots \cdots + \dfrac{A_{pqr}}{j \omega-\lambda- \lambda_{r}}+ \cdots \cdots \qquad (8.18)

对于上述模型，有多个极点重复；极点的连乘数最多可为N。

为了理解在留数信息上的重根模态频率含义，上述方程可根据频响函数矩阵的第q列重写如下：

\left\{ H\right\}_{q}= \dfrac{Q_{1}\psi_{q1}\left\{\psi\right\}_{1}}{j\omega - \lambda_{1}} + \dfrac{Q_{2}\psi_{q2}\left\{\psi\right\}_{2}}{j\omega - \lambda_{2}} +\cdots \cdots + \displaystyle\sum_{s=1}^{N_r}\dfrac{Q_{s}\psi_{qs}\left\{\psi\right\}_{s}}{j\omega-\lambda_{s}}+ \cdots \cdots+\dfrac{Q_{r}\psi_{qr}\left\{\psi\right\}_{r}}{j \omega- \lambda_{r}}+\cdots \cdots \quad(8.19)

这个表达式的含义是，如果只测量了频响函数矩阵的一列，则对于重根模态频率即将估计出来的留数将是由上述方程中的求和所表示线性组合^{[1]}。注意，这个线性组合不唯一；如果用了频响函数的不同列，则重根模态频率的留数的列向量将不一样。这个观察得出了检测重根或伪重根模态频率的最简单方法。如果从不同的参考点（不同输入）得到的模态向量不一样，则模态向量有可能是重根模态频率的结果。注意，跟重根模态频率相关的模态向量相互独立，不像非重根模态频率那样，一个是另一个的简单标量积。

因此，如果没有检测到重根频率条件，那么跟重根模态频率相关的留数向量，它从只有一个参考点得到的频响函数中估计出来，将表示跟重根模态频率相关的模态向量的线性组合。如果观察从第二个参考点得到的频响函数，在不知道第一个参考点（并且仍然没有检查到重根模态频率条件）的情况下，留数向量将再一次表示跟重根模态频率相关的模态向量的线性组合。不幸的是，与之前的估计相比，这个留数向量并不表示相同的模态向量。这意味着只知道任何单参考点的数据是不足以描述重根情况的。

尽管如此，如果存在多参考点数据，则有可能得到与重根相关的模态向量特性。通常，对N_r阶重根，至少需要N_r个参考点来做确定。可是，不同于非重根情况，这个方法得到的各个模态向量将不唯一。只有各向量的组合才表示唯一特性。例如，如果系统含有2阶的重根模态频率\lambda_s，对p和q列估计出的两个留数列向量总可以表示如下：

对p列：

\left\{A\right\}_{p} = Q_{11}\psi_{p1}\left\{\psi\right\}_{1}+Q_{22}\psi_{p2}\left\{\psi\right\}_{2} \qquad (8.20)

对q列：

\left\{A\right\}_{q} = Q_{11}\psi_{q1}\left\{\psi\right\}_{1}+Q_{22}\psi_{q2}\left\{\psi\right\}_{2} \qquad (8.21)

因此，写成矩阵形式：

\Big [ \left\{A\right\}_{p}\left\{A\right\}_{q} \Big ] = \Big [\left\{\psi\right\}_{1}\left\{\psi\right\}_{2}\Big]\begin{bmatrix} Q_{11} & 0 \\ 0 & Q_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_{p1} & \psi_{q1} \\ \psi_{p2} & \psi_{q2} \end{bmatrix} \qquad (8.22)

上式表明，当在频响函数矩阵的p列和q列的独立组合中，激起了模态向量\left\{\psi\right\}_{1}和\left\{\psi\right\}_{2}，那么留数向量\left\{A\right\}_{p}和\left\{A\right\}_{q}相互独立，并且继而定义了两个总是可以归一的独立模态向量，这样模态归一矩阵[Q]是对角阵。

对于N_r阶重根模态频率的一般情形，将有一组N_r个的独立模态向量满足式8.22。注意，可以使用任意一组Nr个的模态向量，它们是式8.22定义的模态向量的独立线性组合。在这种情况下，模态归一矩阵[Q]将不是对角阵。这种情况由下式表示，并且将在后面的例子中进行说明。

\Big[\left\{A\right\}_{p}\left\{A\right\}_{q}\Big ] = \Big[\left\{\psi\right\}_{1}\left\{\psi\right\}_{2}\Big ][Q]\begin{bmatrix} \psi_{p1} & \psi_{q1}\\ \psi_{p2} & \psi_{q2} \end{bmatrix} \qquad (8.23)

8.4.1 重根模态频率示例：留数合成

为了全面理解由重根模态频率引起的问题本质，可以利用一个简单的例子。考虑一个三自由度系统中的2阶重根模态频率\lambda_s，下面代表与两个重根模态频率相关的两个独立模态向量。

\left\{\psi\right\}_{1}=\begin{Bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{Bmatrix}
\left\{\psi\right\}_{2}=\begin{Bmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{Bmatrix}

对于本例，假设上面给出的模态向量已经进行了归一，这样模态归一矩阵[Q]是对角阵，其对角元素等于j。

[Q]=\begin{bmatrix} j & 0\\ 0 & j \end{bmatrix}

下面的讨论中，只合成频响函数矩阵[H]中依赖于重根频率的部分。

首先，将根据理论模态数据合成频响函数矩阵的所有列（示例1，2，3）。这个数据代表理论解，或者代表若检测不到重根条件时，从所测频响中得到的解。

例1：[H]的第1列

例1表示频响函数矩阵第1列重根部分的正确合成。

\left\{H\right\}_{1}= \cdots \cdots + \dfrac{j1\begin{Bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{Bmatrix}_{1}}{j \omega-\lambda_{s}} + \dfrac{j2\begin{Bmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{Bmatrix}_{2}}{j \omega-\lambda_{s}}+\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{1}= \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{Bmatrix} 5\\ 4\\ 9 \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{1}= \cdots \cdots + \dfrac{j \sqrt{5}\begin{Bmatrix} \sqrt{5}\\ \dfrac{4}{\sqrt{5}}\\ \dfrac{9}{\sqrt{5}} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

注意如果只是测量了频响函数矩阵的这一列，则没有理由怀疑存在重根。因此，模态频率和模态向量的阶数将相应地减少。

例2：[H]的第2列

例2表示频响函数矩阵第2列重根部分的正确合成。

\left\{H\right\}_{2}= \cdots \cdots + \dfrac{j2\begin{Bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{Bmatrix}_{1}}{j \omega-\lambda_{s}} + \dfrac{j1\begin{Bmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{Bmatrix}_{2}}{j \omega-\lambda_{s}}+\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{2}= \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{Bmatrix} 4\\ 5\\ 9 \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{2}= \cdots \cdots + \dfrac{j \sqrt{5}\begin{Bmatrix} \dfrac{4}{\sqrt{5}}\\ \sqrt{5} \\ \dfrac{9}{\sqrt{5}} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

再次注意到如果只是测量了频响函数矩阵的这一列，则没有理由怀疑存在重根。如果将对应模态频率\lambda_s的模态向量跟从频响函数矩阵第1列中得到的模态向量进行对比，那么非常明显，估计出了不同的模态向量。这种比较是检测重根模态频率的最简单办法。

例3：[H]的第3列

例3表示频响函数矩阵第3列重根部分的正确合成。

\left\{H\right\}_{3}= \cdots \cdots + \dfrac{j3\begin{Bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{Bmatrix}_{1}}{j \omega-\lambda_{s}} + \dfrac{j3\begin{Bmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{Bmatrix}_{2}}{j \omega-\lambda_{s}}+\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{3}= \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{Bmatrix} 9\\ 9\\ 18 \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{3}= \cdots \cdots + \dfrac{j \sqrt{18}\begin{Bmatrix} \dfrac{9}{\sqrt{18}}\\ \dfrac{9}{\sqrt{18}} \\ \sqrt{18} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

注意从频响函数的这一列中确定的模态向量跟前面的两列又不一样。这是由重根模态频率所引起的模态向量的一个特性；如果没有检测到重根模态频率，则模态向量看上去是不一样的，随着参考点（输入）位置的不同而不同。

如果只是测量了频响函数矩阵[H]的第1列，并且没有检测到重根模态频率，则可以根据所测的第1列尝试合成第2、3列，如下所示：

例4：[H]的第2列

如果只使用第1列中的频响函数数据（没有检测到重根），那么例4表示频响函数第2列的不正确合成。

\left\{H\right\}_{2}= \cdots \cdots + \dfrac{ j \dfrac{4}{\sqrt{5}} \begin{Bmatrix} \sqrt{5}\\ \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{9}{\sqrt{5}} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{2}= \cdots \cdots + \dfrac{j \begin{Bmatrix} 4 \\ \dfrac{16}{5} \\ \dfrac{36}{5} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

注意这个合成与例2中的理论结果并不一致。因此，如果只测量了频响函数矩阵的第1列，则不可能检测到重根模态频率，并且当在第2点激励时，无法预测正确的系统动力学特性。

例5：[H]的第3列

如果只使用第1列中的频响函数数据（没有检测到重根），则例5表示频响函数第3列的不正确合成。

\left\{H\right\}_{3}= \cdots \cdots + \dfrac{ j \dfrac{9}{\sqrt{5}} \begin{Bmatrix} \sqrt{5}\\ \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{9}{\sqrt{5}} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

\left\{H\right\}_{3}= \cdots \cdots + \dfrac{j \begin{Bmatrix} 9 \\ \dfrac{36}{5} \\ \dfrac{81}{5} \end{Bmatrix}}{j \omega-\lambda_{s}} +\cdots \cdots

再次，这种情况的结果应该与例3（理论情况）进行比较，但不比了。因此，如果只是测量了频响函数矩阵的第1列，则不可能检测到
重根模态频率，并且当在位置3进行激励时，无法预测正确的系统动力学特性。

8.4.2 重根模态频率示例：模态向量解

如果重根模态频率的阶数已知，那么利用从频响函数矩阵的两个独立的列生成的留数数据，可以确定重根模态频率的独立模态向量集合。这可以借助奇异值分解技术来估计。对前面的例子，假设重根模态频率的重数是2，利用频率函数矩阵的前两列可以确定这些结果（例1和例2）。

\Big[ \left\{H\right\}_{1} \left\{H\right\}_{2}\Big] = \cdots \cdots + \dfrac{j \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}}{j\omega - \lambda_{s}}+\cdots \cdots

因为从这两列中得到的留数列是独立的，那么这些留数列可以作为式8.21中的[\psi]矩阵。不过，在这种情况下没有理由假设模态归一矩阵[Q]是对角阵。出于这种考虑，式8.21可用于式8.22，如下所示：

\Big[ \left\{H\right\}_{1} \left\{H \right\}_{2} \Big] = \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}}{j \omega - \lambda_{s}} + \cdots \cdots

尽管这好像不直截了当，但必须选择上式中的模态归一矩阵，这样由这三个矩阵和标量j的乘积生成前两列的正确留数。这个矩阵的逆矩阵是满足这个条件的唯一矩阵。

\Big[ \left\{H\right\}_{1} \left\{H \right\}_{2} \Big] = \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5/9 & -4/9 \\ -4/9 & 5/9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}}{j \omega - \lambda_{s}} + \cdots \cdots

现在，利用这两个留数列以及模态归一矩阵[Q]，则有可能合成第3列留数。

\left\{H\right\}_{3} = \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ 9 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5/9 & -4/9 \\ -4/9 & 5/9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 9 \\ 9 \end{bmatrix}}{j \omega - \lambda_{s}} + \cdots \cdots

\left\{H\right\}_{3} = \cdots \cdots + \dfrac{j\begin{bmatrix} 9 \\ 9 \\ 18 \end{bmatrix}}{j \omega - \lambda_{s}} + \cdots \cdots

这是前面例3所定义的正确答案。注意有可能找到一组模态向量，这样相应的模态归一矩阵[Q]是对角阵。这可以通过将[Q]的特征值分解代入上式完成。尽管这是可能的，并且与理论相一致，但却没有必要，因为前面例子已经证明了。

问题？

如果重数为2的重根模态频率对应的模态向量是：

\left\{\psi\right\}_{1} = \begin{Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{Bmatrix}

\left\{\psi\right\}_{2} = \begin{Bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{Bmatrix}

如果已知重根模态频率的重数，那么有可能从频响函数矩阵的第1列和第3列正确地识别模态向量吗？（提示：频响函数矩阵的第1列和第3列独立吗？）

8.5 左、右特征向量

当考察理论矩阵运动方程时，模态参与因子和模态向量之间的关系令人特别感兴趣。对于遵循Maxwell互易性定理的系统，质量、刚度和阻尼矩阵将是对称阵。基于这种考虑，生成的基本特征值-特征向量问题具有如下的形式：

\Big[ \lambda_{r}^{2}[M] + \lambda_{r}[C]+[K]\Big] \left\{\psi\right\}_{r}=\left\{0\right\} \qquad (8.24)

上述方程中，注意\left\{\psi\right\}_{r}的维数与质量、刚度或阻尼方阵的维数一样。因为这个理论问题是N \times N 维的，所以NN，N_{o}或N_{i}间没有差别。因此
模态参与向量也具有相同维数。

特征向量\left\{\psi \right\}_{r}也称为系统右特征向量。如果重新整理这个特征值-特征向量问题，特征向量也可以是系统的左特征向量。

\left\{\psi\right\}_{r}^{T} \Big[ \lambda_{r}^{2}[M] + \lambda_{r}[C]+[K]\Big] =\left\{0\right\} \qquad (8.25)

注意在式8.24和8.25中，不失一般性，可用模态参与向量\left\{L\right\}_{r}代替模态向量\left\{\psi\right\}_{r}。

如果系统不满足互易性（质量、刚度和/或阻尼矩阵非对称），那么左、右特征向量将不一样。式8.26适合于右特征向量。

\Big[ \lambda_{r}^{2}[M] + \lambda_{r}[C]+[K]\Big] \left\{\psi\right\}_{r}=\left\{0\right\} \qquad (8.26)

式8.27适合于左特征向量。

\left\{L\right\}_{r}^{T} \Big[ \lambda_{r}^{2}[M] + \lambda_{r}[C]+[K]\Big] =\left\{0\right\} \qquad (8.27)

注意模态参与向量与左特征向量相同。此时，值得注意的是不满足互易性定理的系统的留数还是可以用模态向量和模态参与因子的乘积来定义，如式8.8和8.9那样。对于不满足互易性定理的情况，式8.10定义的模态向量和模态参与向量之间的关系不再成立。

对于具有重根模态频率的系统来说，左、右特征向量和模态向量、模态参与向量之间关系的这种概念依然成立。

8.6 概要/结论

不管系统是含有重根模态频率还是不满足互易性定理，将模态参数与测量频响或脉冲响应函数矩阵联系在一起的一般方程将正确地预测系统的动力学特性，只要测量了矩阵的足够多元素。式8.1和8.3到式8.12和8.13的推广提供了描述这些性质的广义性和灵活性。

8.7 参考文献

[1] Leuridan, J., 用于多输入模态分析的几种直接参数模型识别方法，博士论文，机械工程系，辛辛那提大学，1984年，384页。
…END#…

上一章 第7章 频响模态归一 – 振动：解析与试验模态分析

返回《振动：解析与试验模态分析》中文翻译目录

扩展阅读[new]：
《模态空间系列文章》Peter Avitabile教授(著) KSI科尚仪器 董书伟 (译)…

《振动：试验模态分析》辛辛那提大学Randall J. Allemang教授(著) KSI科尚仪器 董书伟(译)…[new]