2.模态空间98.04 — 你能解释时域、频域和模态空间之间的差别吗？

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中 Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器董书伟（译）

你能解释时域、频域和模态空间之间的差别吗？我老听说它，但不确定差别是什么？

要解释的很多，但我们从简单入手。

这个问题经常有人问。关于这个问题，有很多不同的方面，所以我们先从简单解释入手，不运用过多的数学知识，而是用一个简单的示意图来解释这一切。我们利用这幅图来讨论时域、频域、模态空间和物理空间的所有这些不同的方方面面。图中现在要讨论的很多，所以我们化整为零 — 每次讨论一个方面 — 后面进而化零为整。你或许还记得我们先前的讨论，那时你问过我模态分析是怎么回事（“你能为我解释模态分析吗？”），它有助于理解下面的讨论。

首先，考虑一个悬臂梁，并假定用一个脉冲在梁端部进行激励。梁端部响应会含有系统所有阶模态的响应（如黑色时域响应图所示）；注意到，好像在几个不同频率上都有响应。对时域信号进行傅立叶变换，将梁端部的时域响应变换到频域。这个过程伴随有相当多的数学知识，但它一直是我们要进行的一个常见变换。这个变换的时域信号的频域表达式常称为频响函数或简写为FRF（如黑色频域图所示）；注意到，这个图上有多个峰，它们对应于系统的固有频率。

在进一步讨论时域和频域图之前，让我们先讨论图中左上部的物理模型。我们知道悬臂梁具有多个振动固有频率。在每个固有频率上，结构具有特定的变形形式，称为模态振型，如前所述[1]。对这个梁，我们看到，第一阶弯曲模态如蓝色所示，第二阶弯曲模态如红色所示，第三阶弯曲模态如绿色所示。当然，还有其他更高阶模态没有显示出来，而此处我们将只讨论前三阶模态，但它很容易推广到更高阶模态。

不过，也可以利用图中右上部的解析集中质量模型或者有限元模型（黑色所示）来计算这个实物梁。此模型通常用方程组来求解，这里不同的点或自由度（dof）之间相互影响或者耦合，方程组用于对结构进行建模。这意味着，如果你在模型的一个自由度上拉，其他自由度也会受影响，也会活动。这种耦合意味着，为了确定系统如何反应，方程组更加复杂了。当描述系统的方程数越来越大时，方程的复杂性愈甚。我们通常用矩阵将所有的运动方程组织在一起，以描述系统是如何反应的，如下所示：

\left [ M \right ]\left \{ \ddot{x} \right \}+\left [ C \right ]\left \{ \dot{x} \right \}+\left [ K \right ]\left \{ x \right \}=\left \{ F\left ( t \right ) \right \}

其中 $[M]$ 、 $[C]$ 、 $[K]$ 分别为质量、阻尼和刚度矩阵，除此之外还有相应的加速度、速度和位移以及施加于系统上的激振力。通常质量矩阵为对角阵；阻尼矩阵和刚度矩阵为对称阵，具有非对角元素，以表明描述系统的不同方程或自由度之间的耦合程度。矩阵的大小依赖于我们用以描述系统的方程数。从数学上讲，我们求得所谓的特征解，并利用模态变换方程，将这些耦合的方程组转换为一组解耦的单自由度系统，在新坐标系统中，它由模态质量、模态阻尼和模态刚度等对角矩阵来描述，这个新坐标系统称为模态空间，表示如下：

\begin{bmatrix} \setminus & & \\ &\bar{M} & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\left \{ \ddot{p} \right \}+\begin{bmatrix} \setminus & & \\ &\bar{C} & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\left \{ \dot{p} \right \}+\begin{bmatrix} \setminus & & \\ &\bar{K} & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\left \{ p \right \}=\left [ U \right ]^{T}\left \{ F \right \}

因此我们可以看出，利用模态变换方程，从物理空间到模态空间的变换是一个过程，籍此，我们把一个复杂的耦合物理方程组转换为一组简单的解耦的单自由度系统。并且，在图中我们看到，这个解析模型可以分解为一组单自由度系统，其中描述第1阶模态的单自由度如蓝色所示，第2阶模态如红色所示，第3阶模态如绿色所示。模态空间允许我们方便地利用简单的单自由度系统来描述系统。

现在我们回过头来讨论时域和频域响应，如黑色所示。我们知道，可以根据每阶模态的贡献求得总响应。黑色所示的总响应是由各模型响应结果求和得到的，各模型如蓝色第1阶，红色第2阶，和绿色第3阶模态所示。不论我是在时域还是在频域来描述系统，这都是对的。各域等价，只是呈现数据的角度不同而已。这与货币很相似 — 当我从一个国家到另一个国家时，每个国家的货币看起来都不一样，但它其实是一回事。所以，我们可以看出，时域总响应是由各部分时域响应所组成，各部分时域响应由蓝色1阶、红色2阶、和绿色3阶模态的时域响应的贡献而来。我们也可以看出，总频响是由各部分频响所组成，各部分频响由蓝色1阶、红色2阶、和绿色3阶模态的频响贡献而来。（此处只显示了频响函数的幅值部分；这个函数实际上是复数的，需要用频响的幅值和相位或者实部和虚部两部分来正确表示）。

因为可以将解析模型分解为一组单自由度系统，所以我们能够确定每个单自由度系统的频响函数，如蓝色1阶、红色2阶、和绿色3阶模态所示。也能够确定每个单自由度系统的时域响应，对于脉冲输入引起的单自由度系统的响应，可通过闭式解求得或者对每个单自由度系统的频响函数进行简单的傅立叶逆变换得到。也能够测量脉冲输入引起的梁端部响应，并且对系统每阶模态的响应进行滤波，这样我们可以观察系统每阶模态的响应，如蓝色1阶、红色2阶、和绿色3阶模态示。（当然，这里我对很多理论进行了简化处理，以便我们能够理解这些概念。）

至此我们已经将图中各部分进行了单独分析，时域、频域、模态空间和物理空间之间真的没有区别，我认为这点应该是相当明了的了。每个域仅仅是呈现或观测数据的一种方便手段。但是有时，一个域比另一个域更容易看清事物。例如，时域总响应不能清楚地表明有多少阶模态在对梁的响应有所贡献。然而频域中的总频响函数却更清楚地表明激起了多少阶模态以及各阶模态的频率。所以我们经常从一个域变换到另外一个域，只不过是因为数据更易于解释。

尽管还有其他很多内容，但我希望这个简图及解释有助于更好地理清头绪。好好考虑一下吧，如果你有关于模态分析的其他任何问题，尽管问我好了。

备注：[1]你能为我解释模态分析吗？