3. 多自由度系统

《振动：解析与试验模态分析》 辛辛那提大学 Randall J. Allemang教授 (著)，KSI科尚仪器 董书伟 (译)

3.1 理论

与前面所讨论的单自由度质量-弹簧-阻尼系统相比，大多数结构通常更为复杂。我们将利用一般情形的多自由度系统来说明结构频响函数是如何与模态向量联系起来的。下面将用如下的两自由度系统来阐述所讨论的概念。

图3-1. 两自由度系统

上述系统的运动方程为：

M_{1}\ddot{x}_{1}(t)+(C_{1}+C_{2})\dot{x}_{1}(t)-C_{2}\dot{x}_{2}(t)+(K_{1}+K_{2})x_{1}(t)-K_{2}x_{2}(t)=f_{1}(t)
M_{2}\ddot{x}_{2}(t)+(C_{2}+C_{3})\dot{x}_{2}(t)-C_{2}\dot{x}_{1}(t)+(K_{2}+K_{3})x_{2}(t)-K_{2}x_{1}(t)=f_{2}(t)

写成矩阵形式：

\begin{bmatrix} M_1 &0 \\ 0 & M_2 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{x}_{1}(t)\\ \ddot{x}_{2}(t) \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} (C_1+C_2) &-C_2 \\ -C_2 & (C_2+C_3) \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \dot{x}_{1}(t)\\ \dot{x}_{2}(t) \end{Bmatrix}
+\begin{bmatrix} (K_1+K_2) &-K_2 \\ -K_2 & (K_2+K_3) \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t) \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} f_{1}(t) \\ f_{2}(t) \end{Bmatrix} \qquad (3.1)

上述方程仍然为二阶线性时不变微分方程，但是现在它们通过坐标选择而耦合在一起。因此，这个系统方程必须同时进行求解。下面将按照解析方式来说明方程组3.1的求解过程。从式3.1的微分方程组的齐次解可以得到模态向量及频率。

首先对无阻尼系统来求解上述系统的二阶微分方程，假设C_1 = C_2 = C_3 = 0。

[M]\left \{ \ddot{x}(t)\right \}+[K]\left \{x(t)\right \}=\left \{f(t)\right \} \qquad \qquad (3.2)

其中：

因为力向量和响应向量总是时间的函数，所以在后面的方程中将舍去函数符号(t)。

式3.2所代表的系统方程具有如下通解：

\left \{ x \right \}=\left \{ X \right \}e^{st}

因此：

\left \{ \dot{x} \right \}=s \left \{ X \right \}e^{st}=s\,x
\left \{ \ddot{x} \right \}=s^{2}\left \{ X \right \}e^{st}=s^{2}\,x \qquad (3.3)

其中：

将式3.3代入式3.2 ，得到：

s^{2}[M]\left \{ X \right \}+[K]\left \{ X \right \}=\left \{ f \right \}

如果没有施加作用力，即 \left \{ f \right \}= \left \{ 0 \right \}，则有：

s^{2}[M]\left \{ X \right \}+[K]\left \{ X \right \}=\left \{ 0 \right \}
\big (s^{2}[M]+[K] \big ) \left \{ X \right \}=\left \{ 0 \right \} \qquad (3.4)

式3.4不过是X_i的一组联立代数方程。未知数是X及s。根据微分方程理论，式3.4要有非零解，\left \{ X \right \} \neq \left \{0 \right \}，其系数行列式须为0。系数行列式是s^2的多项式。这个多项式的根称为特征值。

要将式3.4化为标准的特性值-特性向量的形式，可以按照多种不同的方式进行整理。首先，将式3.4除以s^2并左乘[K]^{-1}。

\big [[K]^{-1}[M]+ \dfrac{1}{s^2}[I] \big ] \left \{X \right \} = \left \{0 \right \} \qquad (3.5)

构建特征值问题的另外一种方式是将式3.4左乘[M]^{-1}。注意这样处理之后，得到的动力学矩阵，式3.5中的[K]^{-1}[M]或式3.6中的[M]^{-1}[K]，不再是对称阵。

\big [[M]^{-1}[K]+ s^{2}[I] \big ] \left \{X \right \} = \left \{0 \right \} \qquad (3.6)

式3.5中的特征值为\dfrac{1}{s^2}，而式3.6中的特征值为s^{2}。式3.5与3.6式互逆。在式3.5或式3.6中，通常称方程左侧的矩阵为动力学矩阵。注意，式3.4与一个矩阵相乘后得到式3.5或3.6相当于进行坐标变换。

用特征值来定义振动模态的频率。称式3.5或3.6中与某个特征值对应的解向量\left \{X \right \}为特征向量、本征矢量、模态振型或模态向量。X代表某个特定振动频率下的结构变形模式。因为式3.5或3.6是齐次的，故X解不唯一；只能得到X的相对形式或比值。换句话讲，可以根据X的其中一个解得到X的所有解，可以赋它为任意值。从数学意义上讲，式3.5或3.6所示方程组的秩总是等于方程数减1。

因而结构变形是根据结构上不同点的运动幅值比来定义的，它描述了固有振动模态。所以一个结构的实际振动幅度是模态向量，量级，位置和激振力特性综合作用的结果，而不是固有振动模态的直接特性。振动幅度实际上取决于系统激励的作用位置、幅度、系统初始条件以及由特征值和特性向量所描述的结构属性。

3.2 解特征值问题

我们可知式3.5或3.6为齐次方程组，因此它们要有非零解，系数行列式必须为零。

\left | [K]+s^{2}[M] \right | =0 \qquad \qquad \qquad (3.7a)
\left |[M]^{-1} [K]+s^{2}[I] \right | =0 \qquad \qquad (3.7b)
\left |[K]^{-1} [M]+\dfrac{1}{s^{2}}[I] \right | =0 \qquad \qquad (3.7c)

称式3.7中的行列式为特征行列式。展开特征行列式得到特征方程或者频率方程。

式3.7可写成如下形式：

\alpha^{n}+a_{1} \alpha^{n-1}+a_{2} \alpha^{n-2}+ \, \cdots \, + a_{n}=0 \qquad (3.8)

式3.8为N自由度系统的特征方程，其中，对式3.7a或3.7b来讲， \alpha = s^{2}，而对式3.7c来讲，\alpha = \dfrac{1}{s^2}。式3.8的根为系统的特征值。注意，对应于式3.8根的s值是复数的模态频率(\lambda_{r}=\alpha_{r}+j \omega_{r})。

3.2.1 两自由度系统示例：无阻尼、齐次

假设一个两自由度系统（式3.1），求解这个无阻尼系统的特征值（无阻尼固有频率）及相应的特征向量（模态向量）。

参考图（3-1），使：

代入式3.1：

\begin{bmatrix} 5 & 0\\ 0 & 10 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{x}_{1}\\ \ddot{x}_{2} \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & -2\\ -2 & 6 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0\\ 0 \end{Bmatrix}

则这个特征值问题变为（式3.5）：

\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -2\\ -2 & 6 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix} +\dfrac{1}{s^2}\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0\\ 0 \end{Bmatrix}

\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{3}{10}& \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix} +\dfrac{1}{s^2}\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0\\ 0 \end{Bmatrix}

或：

\begin{bmatrix} \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{s^2} &1 \\ \dfrac{1}{2}&2+\dfrac{1}{s^2} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{Bmatrix}= \left \{ 0 \right \} \qquad \qquad (3.9)

要有非零解，式3.9系数矩阵的行列式必须等于零。

(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{s^2})(2+\dfrac{1}{s^2})-\dfrac{1}{2}=0

用\alpha = \dfrac{1}{s^2}作变量替换，特征方程变为：

\alpha ^{2}+\dfrac{7}{2} \alpha+\dfrac{5}{2}=0 \qquad \qquad (3.10)

式3.10的根为：

\alpha _{1,2}=\dfrac{\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{49/4-10} }{2} = \dfrac{-7}{4} \pm \dfrac{\sqrt{9/4}}{2}

\alpha _{1}=\dfrac{-5}{2}

\alpha _{2}=-1

注意变量替换\alpha = \dfrac{1}{s^2}：

\alpha _{1}=\dfrac{1}{\lambda_{1}^{2}} \qquad \qquad \alpha _{2}=\dfrac{1}{\lambda_{2}^{2}}

因为\lambda_{r}=\sigma_{r} \pm j \omega_{r}，则复值模态频率为：

\lambda_{1}=\sigma_{1} \, \pm \, j \omega_{1} = \pm \,j \, \omega _{1} = \pm \, j \, \sqrt{2/5}
\lambda_{2}=\sigma_{2} \, \pm \, j \omega_{2} = \pm \, j \, \omega _{2} = \pm \, j \, 1

现在，可以将频率\omega_{1}和\omega_{2}用于式3.9来确定模态向量。

利用下列方程来确定相对于\lambda_{1} = \pm \, j \, \omega_{1}的模态向量：

\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{-1}{2} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{Bmatrix}= \left \{ 0 \right \}

或：

-X_{1}+X_{2}=0

X_{2}=X_{1}

因此，对应固有频率\omega_{1}的模态向量为：

\left \{ \psi \right \}_{1} = \begin{Bmatrix}X_{1} \\ X_{1} \end{Bmatrix}_{1}

其中：

同样，对于\lambda_{2}= \pm \, j \omega _{2}，模态向量为：

\begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} & 1 \\ \dfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{Bmatrix}= \left \{ 0 \right \}

或：

\dfrac{1}{2}X_{1}+X_{2}=0

X_{2}=\dfrac{-1}{2}X_{1}

或：

\left \{ \psi \right \}_{2} = \begin{Bmatrix}X_{1} \\ \dfrac{-X_{1}}{2} \end{Bmatrix}_{2}

如果变形X_{1} = 1，它是根据归一化方法确定的一个任意值，因此：

对\omega_{1}=\sqrt{2/5}：

\left \{ \psi \right \}_{1} = \begin{Bmatrix} 1 \\ 1 \end{Bmatrix}_{1}

对\omega_{2}=1：

\left \{ \psi \right \}_{2} = \begin{Bmatrix} 1 \\ -\dfrac{1}{2} \end{Bmatrix}_{2}

3.3 模态向量加权正交性

对式3.5所列的特征值问题进行求解得到N个固有频率\lambda_{r}以及N个模态向量\left \{ \psi \right \}_{r}，其中N为系统的自由度数目。

注意，任意一个特定的无阻尼固有频率及相应的模态向量\left \{ \psi \right \}_{r}都满足式3.4。因此，将s=\lambda_{r}及\left \{ X \right \} = \left \{ \psi \right \}_{r}代入式3.4，得到：

\lambda_{r}^{2}[M] \left \{ \psi \right \}_{r}= -[K] \left \{ \psi \right \}_{r} \qquad (3.11)

现在，在式3.11两侧左乘一个不同的模态向量，\left \{ \psi \right \}_{s}^{T}，则有：

\lambda_{r}^{2}\left \{ \psi \right \}_{s}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{r}= -\left \{ \psi \right \}_{s}^{T}[K] \left \{ \psi \right \}_{r} \qquad (3.12)

其中上角标T表示矩阵转置。

根据矩阵乘积转置的矩阵代数法则：

\big [[C][D] \big ]^{T}=[D]^{T}[C]^{T}

对式3.12两侧进行转置运算，得到：

\lambda_{r}^{2}\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{s}= -\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[K] \left \{ \psi \right \}_{s} \qquad (3.13)

其中：

接下来，将s = \lambda_{s} 及\left \{ X \right \} = \left \{ \psi \right \}_{s}代入式3.4，两侧左乘\left \{ \psi \right \}_{r}^{T} 。则有：

\lambda_{s}^{2}\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{s}= -\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[K] \left \{ \psi \right \}_{s} \qquad (3.14)

式3.13减式3.14，给出：

(\lambda_{r}^{2}-\lambda_{s}^{2})\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{s}= 0 \qquad (3.15)

如果r \neq s（假设两个不同的频率），由此可见：

\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{s}= 0 \qquad (3.16)

根据式3.14，可得如下结论：

\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[K] \left \{ \psi \right \}_{s}= 0 \qquad (3.17)

式3.16和式3.17分别是相对于系统质量矩阵和刚度矩阵的模态向量加权正交性的表达式。正交的概念可以从向量分析的角度来看。在向量分析中，如果两个向量的点积为零，则其正交。这意味着一个向量在另一个向量上的投影为零。因此，这两个向量相互正交。一个显然的例子是三维笛卡尔坐标系。笛卡尔坐标系的单位向量i，j，k彼此两两正交。n自由度系统的模态向量可以看作仅仅是n维空间的一个向量，不幸的是，它不能可视化。模态向量间为了正交，一个简单的点积是不够的。必须使用加权点积的概念，其中加权矩阵为理论上的质量矩阵或刚度矩阵。例如，如果式3.16中的质量矩阵为单位阵，则加权点积可以简化为点积，并且可以得到与笛卡尔坐标系类似的单位向量正交条件。因为式3.16及式3.17中的质量矩阵和刚度矩阵通常不是单位阵，因此这两个式子的正交关系通常被称为加权正交。

如果两个模态向量恰好具有相同的频率\lambda_{r}=\lambda_{s}（式3.15），则其相应的模态向量不一定相互正交。这种情况称为重根或重极点，将在后面的章节中进一步讨论它。在这种情况下，与重根相关的模态向量将与其他模态向量正交，并相互独立。

在式3.15中，如果用相同的模态向量同时左乘和右乘质量矩阵，则式3.16等于某个不为零的标量常数，一般标识为M_r，因而：

\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{r}= M_{r}= \, 模态质量 \qquad (3.18)

同理，根据式3.14可得：

\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}[K] \left \{ \psi \right \}_{r}= \omega _{r}^{2} M_{r}=K_{r}= \, 模态刚度 \qquad (3.19)

如前所示，因为任一特定模态向量（特征向量）的幅值完全是任意的，因此模态向量可以按任意方式进行归一。这意味着M_r是不唯一的。

例如，进行模态向量归一的一个通用规则是将式3.18中的M_r归一。

按这种方式归一的模态向量通常称为正交模态向量（特征向量）。

3.4 模态向量归一示例

以前面的两自由度系统为例，对模态向量\left \{ \psi \right \}_{1}及\left \{ \psi \right \}_{2}进行归一，则有：

\left \{ \psi \right \}_{1}^{T}[M]\left \{ \psi \right \}_{1}=M_{1}=1 \qquad \qquad (3.20)

以及：

\left \{ \psi \right \}_{2}^{T}[M] \left \{ \psi \right \}_{2}=M_{2}=1 \qquad \qquad (3.21)

根据前面的例子：

\left \{ \psi \right \}_{1}=\begin{Bmatrix} X_{1}\\ X_{1} \end{Bmatrix}_{1} \qquad \qquad \left \{ \psi \right \}_{2}=\begin{Bmatrix} X_1\\ \dfrac{ -X_{1}}{2} \end{Bmatrix}_{2}

将\left \{ \psi \right \}_{1}代入式3.20得到：

\begin{Bmatrix} X_1\\ X_1 \end{Bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} 5 &0 \\ 0 &10 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} X_1\\ X_1 \end{Bmatrix}=1

\begin{Bmatrix} 5X_{1}\\ 10X_{1} \end{Bmatrix}^{T}\begin{Bmatrix} X_1\\ X_1 \end{Bmatrix}=1

5X_{1}^{2}+10X_{1}^{2}=1

X_{1}^{2}=\dfrac{1}{15}

X_{1}=\pm \sqrt{1/15}

利用正根，模态向量\left \{\psi \right \}_{1}，按单位模态质量归一，则有：

\left \{ \psi \right \}_{1}=\begin{Bmatrix} X_{1}\\ X_{1} \end{Bmatrix}_{1} =\begin{Bmatrix} \sqrt{1/15}\\ \sqrt{1/15} \end{Bmatrix}_{1}

同理，对于\left \{\psi \right \}_{2}，有

\begin{Bmatrix} X_1\\ \dfrac{-X_{1}}{2} \end{Bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} 5 &0 \\ 0 &10 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} X_1\\ \dfrac{-X_{1}}{2} \end{Bmatrix}=1

\begin{Bmatrix} 5X_{1}\\ -5X_{1} \end{Bmatrix}^{T}\begin{Bmatrix} X_1\\ \dfrac{-X_{1}}{2} \end{Bmatrix}=1

5X_{1}^{2}+\dfrac{5}{2}X_{1}^{2}=1

X_{1}^{2}=\dfrac{2}{15}

X_{1}=\pm \sqrt{2/15}

因此，按照单位模态质量归一，\left \{\psi \right \}_{2}为：

\left \{ \psi \right \}_{2}=\begin{Bmatrix} \sqrt{2/15}\\ \dfrac{-\sqrt{2/15}}{2} \end{Bmatrix}_{2}

模态向量按这种办法归一后，所有振动模态的M_{r}=1。这种归一办法的重要性待到后面章节就清楚了。

3.5 主坐标 – 模态坐标

对于无阻尼系统的运动方程（式3.2），针对一组特定的激振函数和初始条件，当试图求解系统的响应\left \{x \right \}时，遇到的主要障碍在于方程之间是耦合的。就系统质量矩阵和刚度矩阵而言，耦合代表非对角元素非零。通常对于无阻尼系统，有两种类型的耦合：（1）静态耦合（非对角刚度矩阵）；或者（2）动态耦合（非对角质量矩阵）。式3.2所示系统仅有静态耦合。如果式3.2中的系统方程能够解耦，也就是具有对角质量矩阵和刚度矩阵，则式3.2中的每个方程可以单独求解，而与其他方程无关。按另外一种方式来看待这个问题：每一个解耦的方程都可以看成是一个单自由度系统的方程，很容易求解。因此，如果一组耦合的系统方程可以简化为解耦的系统，其解变得简单。实际上，从解析的角度来讲，这就是所谓模态分析的全部意义所在。

从根本上讲，一组耦合的系统方程解耦的过程就是坐标变换。换句话讲，目标是找到一个坐标变换来把原始坐标\left \{x \right \}变换为另外一组等效的坐标\left \{q \right \}，使得系统静态及惯性解耦。通常称这个新的坐标\left \{q \right \}为广义坐标、正则坐标或模态坐标。

在其它工程问题中也常有具有类似益处的坐标变换。例如，当需要确定一个复杂结构的惯量特性时，要计算力矩及惯量积。计算惯量积的首要步骤是选择惯量特性所根据的一组坐标轴。接下来需要测量或者计算如下特性：I_{xx}，I_{yy}，I_{zz}，I_{xy}，I_{yz}，I_{xz}。通常，不但需要惯性力矩而且需要惯量积。但是，如果相对于结构确定了一组不同的坐标轴，以至于这些轴恰好与结构的主轴重合，则将只有惯性力矩I_{x}，I_{y}，I_{z}，而惯性积都为零(I_{xy}=I_{yz}=I_{xz}=0)。因此，通过改变坐标系，可以消去惯性积。

坐标变换好处的另外一个例子是计算结构上某点的主应变。一般来讲，使用应变花来确定一个感兴趣点的正应变和切应变。根据这些信息，可以确定一个新的坐标系（应变方向），使得只有正应变存在，而切应变为零。为了确定这个新坐标系的方向，以使切应变为零，通常使用莫尔环技术。又一次，利用一个简单的坐标变换来消去切应变。

找到一个坐标变换来对我们的原始运动方程进行解耦，这个问题是很简单的。结果发现，由于模态向量的独特正交性，所需的坐标变换早已存在。参考式3.16-3.19，不管是质量矩阵还是刚度矩阵，左乘同时右乘不同的模态向量（式3.16及3.17），结果为零。但是，如果用相同的模态向量左乘同时右乘质量矩阵或者刚度矩阵（式3.18及3.19），结果为常数。

因此，可以按照下面的变换来定义新的坐标系统：

\left \{x \right \}= \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{q \right \} \qquad (3.22)

其中：

这个矩阵通常称为模态矩阵或模态向量矩阵。重新写受激振力作用下的无阻尼系统方程的通用表达式如下：

[M] \left \{ \ddot{x} \right \} +[K] \left \{x \right \}=\left \{f \right \} \qquad (3.23)

将式3.22代入式3.23，得：

[M] \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{ \ddot{q} \right \} +[K] \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{q \right \}=\left \{f \right \} \qquad (3.24)

右乘[\psi]^{T}，得：

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [M] \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{ \ddot{q} \right \} +\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [K] \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{q \right \}= \Big [\, \psi \, \Big ]^{T} \left \{f \right \} \qquad (3.25)

式3.25是式3.23的等效形式，但它却是在另外一个坐标系中。分析式3.25，注意到模态向量的正交特性（式3.16-3.19）：

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [M] \Big [\, \psi \, \Big ] = \left \lceil M \right \rfloor

并且：

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [K] \Big [\, \psi \, \Big ] = \left \lceil K \right \rfloor

其中：

因此，式3.25变为：

\left \lceil M \right \rfloor \left \{ \ddot{q} \right \} +\left \lceil K \right \rfloor \left \{q \right \}= \Big [\, \psi \, \Big ]^{T} \left \{f \right \} \qquad (3.26)

观察可见，由于新的质量和刚度矩阵都是对角阵，坐标变换\left \{x \right\}=[\psi] \left \{x \right\}已经将方程组完全解耦。式3.26中的每个方程都是一个单自由度振子方程，易于求解。

式3.26的第r个方程为：

M_{r} \ddot{q}_{r} + K_{r}q_{r} = \left \{ \psi \right\}_{r}^{T} \left \{f \right \} = f_{r} \qquad (3.27)

这是一个单自由度系统的运动方程，如下图所示。

图3-2. 单自由度系统

称M_r为第r阶振动模态的模态质量或广义质量，称K_r为第r阶振动模态模态刚度或广义刚度。尽管这些量被看作是质量和刚度相关的，但谨记，这些量的幅度取决于模态向量的归一化方法。因此，尽管模态向量和模态质量/刚度都是按照相对方式来计算的，只有模态向量连同相应的模态质量在一起才能象征描述系统的绝对唯一特性。

前面已经说明，模态向量可以归一，使得M_r = 1。如果这样，对第r阶模态向量，式3.27可写为：

\ddot{q}_{r}+\Omega_{r}^{2} \, q_{r} = f' \qquad (3.28)

其中：

一旦式3.26所有q的解（时间响应）都已求得，那么接下来原始坐标的解可以通过利用式3.22中的坐标变换方程求得。

3.6 两自由度示例：无阻尼、强迫激励

参考前面的例子，现在系统方程中可以包含激振力函数。

\begin{bmatrix} 5 & 0\\ 0 & 10 \end{bmatrix} \left \{ \ddot{x} \right \}+ \begin{bmatrix} 4 & -2\\ -2 & 6 \end{bmatrix} \left \{ x \right \} = \left \{ f \right \} \qquad (3.29)

以上系统的固有频率及归一化模态向量为：

对\omega_{1} = \sqrt{2/5}：

\left \{ \psi \right \}_{1} = \begin{Bmatrix} \sqrt{1/15})\\ \sqrt{1/15} \end{Bmatrix}_{1}

对\omega_{2} = 1：

\left \{ \psi \right \}_{2} = \begin{Bmatrix} \sqrt{2/15})\\ -\dfrac{\sqrt{1/15}}{2} \end{Bmatrix}_{2}

构建模态矩阵：

\Big [ \psi \Big ] =\Big [ \left \{ \psi \right \}_{1} \; \left \{ \psi \right\}_{2} \Big ]= \begin{bmatrix} \sqrt{1/15} & \sqrt{2/15} \\ \sqrt{1/15} & -\dfrac{\sqrt{2/15}}{2} \end{bmatrix}

现在进行如下坐标变换：

\left \{ x \right \} = \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{q \right \} \qquad (3.30)

\begin{Bmatrix} x_1\\ x_2 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} \sqrt{1/15} & \sqrt{2/15} \\ \sqrt{1/15} & -\dfrac{\sqrt{2/15}}{2} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q_1\\ q_2 \end{Bmatrix}

将式3.30代入式3.29，并且两侧左乘 [ \psi ]^{T} ，得到：

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [M] \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{ \ddot{q} \right \} +\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [K] \Big [\, \psi \, \Big ] \left \{q \right \}= \Big [\, \psi \, \Big ]^{T} \left \{f(t) \right \}

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [M] \Big [\, \psi \, \Big ]= \begin{bmatrix} \sqrt{1/15} & \sqrt{1/15} \\ \sqrt{2/15} & -\dfrac{\sqrt{2/15}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0\\ 0 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{1/15} & \sqrt{2/15} \\ \sqrt{1/15} & -\dfrac{\sqrt{2/15}}{2} \end{bmatrix}

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [M] \Big [\, \psi \, \Big ]= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [K] \Big [\, \psi \, \Big ]= \begin{bmatrix} \sqrt{1/15} & \sqrt{1/15} \\ \sqrt{2/15} & -\dfrac{\sqrt{2/15}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -2\\ -2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{1/15} & \sqrt{2/15} \\ \sqrt{1/15} & -\dfrac{\sqrt{2/15}}{2} \end{bmatrix}

\Big [\, \psi \, \Big ]^{T} [K] \Big [\, \psi \, \Big ]= \begin{bmatrix} 2/5 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

因此，新的运动方程为：

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{q}_{1} \\ \ddot{q}_{2} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} 2/5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} \sqrt{1/15}f_{1}+\sqrt{1/15}f_{2} \\ \sqrt{2/15}f_{1}- \dfrac{\sqrt{2/15}}{2} f_{2} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} f_{1}^{'} \\ f_{2}^{'} \end{Bmatrix}

现在，式3.31的矩阵方程按代数微分方程的形式可以写为：

\begin{aligned} \ddot{q}_{1}+\dfrac{2}{5}q_{1} &=f_{1}^{'} \qquad (3.32)\\ \ddot{q}_{2}+q_{2}&=f_{2}^{'} \qquad(3.33) \end{aligned}

因此，通过利用模态矩阵作为坐标变换，系统方程组得以解耦。

原始系统如下图所示：

图3-3. 原始系统

变换后的系统如下图所示：

图3-4. 变换后的系统

当q_{1}(t)和q_{2}(t)已知时，可以利用式3.30来计算x_{1}(t)和x_{2}(t)。因此：

x_{1}(t)=\sqrt{1/15}q_{1}(t)+\sqrt{2/15}q_{2}(t)
x_{2}(t)=\sqrt{1/15}q_{1}(t)-\dfrac{\sqrt{2/15}}{2}q_{2}(t)

根据前面的讨论，强调如下几点：模态向量，连同其模态频率，是结构的动态特性。模态向量的幅值是完全任意的；也即，一个特定的模态向量，只有其元素间的比值是唯一的。关于系统的质量矩阵和刚度矩阵，由于模态向量的正交性，可以定义模态质量和模态刚度。这些量的大小取决于模态向量的归一化办法，因此这些量的绝对幅值也是任意的。最后一点，利用简单的坐标变换（模态矩阵），一个相互间复杂连接的质量弹簧系统可以由一组单自由度振子来表示。

3.7 比例阻尼

为了评估现实世界中所存在的多自由度系统，必须考虑阻尼对于复频率和模态向量的影响。需要多种物理机制来描述特定结构或系统中可能存在的全部阻尼形式。下面为几种典型形式：

一般来讲，很难确定某种特定结构中存在哪种类型的阻尼。实际上大多数结构表现出的阻尼特性是由上述所有的，加上其他这里还没有描述过的阻尼综合作用的结果。

可以说，在任何情况下一个结构按照某种特定形式的阻尼来建模，例如，粘性阻尼，那么这个阻尼模型是实际上可能存在的任何类型阻尼的等效模型。

我们不需要考虑描述系统能量耗散的多种不同的物理机制、每种机制的可能位置、阻尼机制的特定数学表达方式。而是使用一个合成数学形式的模型，这个模型表示一种假设形式的阻尼，它与系统的质量或刚度矩阵成比例。因此：

[C] = \alpha [M]
[C] = \beta [K]

比例阻尼的最常见形式为：

[C] = \alpha [M] + \beta [K]

其中：

注意，无阻尼是比例阻尼的两个系数均为零的情形。尽管上述定义对大多数情况已经足够，即使质量、刚度和阻尼矩阵之间的理论关系稍加复杂，但仍然可以按照比例阻尼来量化。从理论上讲，任何满足下列关系式以及下面要讨论的所有限定条件（正则模态）下的阻尼矩阵将产生比例阻尼。

\Big [ [M]^{-1}[C] \Big ]^{s} \Big [ [M]^{-1}[K] \Big ]^{r} = \Big [ [M]^{-1}[K] \Big ]^{r} \Big [ [M]^{-1}[C] \Big ]^{s}

其中：

这个更简单的关系式用于大多数实际问题足够了。

3.8 由系统矩阵得到模态向量

可以用一种稍为直接的方式，通过对系统矩阵进行运算来确定模态向量。理解这种求解模态向量的方法，对于建立测得的频响函数与系统模态向量之间的关系是非常有用的。

从式3.34出发：

\Big [ [M]s^{2}+[C]s+[K] \Big ] \left \{ X \right \} = \left \{ 0 \right \} \qquad (3.34)

定义：

[B(s)] = \Big [ [M]s^{2}+[C]s+[K] \Big]

其中：

根据矩阵代数：

[B(s)][B(s)]^{-1} = [\,I\,] \qquad (3.35)

[B(s)]^{-1} = \dfrac{[B(s)]^{A}}{\left | [B(s)] \right |} \qquad (3.36)

其中：

将式3.36代入式3.35，得到：

[B(s)][B(s)]^{A} = \left | [B(s)] \right | [\,I\,] \qquad (3.37)

如果\lambda_{r}是式3.34的特征方程的根，则 \left | [B(\lambda_{r})] \right | = 0 。

计算 s= \lambda_{r} 时，式3.37的值，有：

[B(\lambda_{r})][B(\lambda_{r})]^{A} = [\,0\,] \qquad (3.38)

可以利用\left [ B\left ( \lambda _{r} \right ) \right ]^{A}的任意一列，如第i列 \left \{ B\left ( \lambda _{r} \right ) \right \}_{i}^{A}，重写式3.38。因此：

[B(\lambda_{r})] \left \{B(\lambda_{r}) \right \}_{i}^{A} = \left \{ \,0\, \right \} \qquad (3.39)

式3.39表示\left \{B(\lambda_{r}) \right \}_{i}^{A}的一组齐次方程，它确定\left \{B(\lambda_{r}) \right \} _{i}^{A}的每个元素为任意常数，注意这个常数将根据所用列的不同而各异。

求式3.34在某个系统特征值(\lambda _{r})时的数值：

[B(\lambda_{r})] \left \{ X \right \}_{r} = \left \{ \,0\, \right \} \qquad (3.40)

式3.40（之前的方程3.34），就如同式3.39一样，表示\left \{X \right \}的一组齐次方程。在某个特定的特征值处对式3.34进行求解，得到的解是对应的特征向量。特征向量为任意常数。所以，根据式3.39和式3.40，\left \{ B( \lambda _{r}) \right \}_{i}^{A}与 \left \{ X \right \}_{r}成比例，二者都代表特征值\lambda_{r}对应的特征向量。回想一下，前面已经说明\left \{X \right \}_{r}（式3.40）为系统的第r阶模态向量。因此：

\left \{ X \right \} _{r} = \beta _{ir} \left \{ B(\lambda_{r}) \right \} _{i}^{A}

其中：

需要注意的非常重要的一点是：伴随矩阵[B(\lambda_r)]^{A}的所有列都与第r阶模态向量成比例。

当使用绝对坐标（并且存在比例阻尼）时，由于假设质量、阻尼和刚度矩阵均为对称阵，所以系统阻抗矩阵[B(s)]是对称的。因此， [B(\lambda _{r})] 的伴随矩阵也是对称的。那么伴随矩阵的所有行向量同样也与模态向量成比例。现在第r阶模态的伴随矩阵可以由第r阶模态向量来表示。

\Big [ \,B(\lambda_{r}) \, \Big]^{A} = \gamma _{r} \left \{ \psi \right \} _{r} \left \{ \psi \right \} _{r} ^{T} \qquad (3.41)

\Big [\, B(\lambda_{r}) \, \Big ]^{A} = \gamma _{r}\begin{bmatrix} \psi_{1}\psi_{1} &\psi_{1}\psi_{2} & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \psi_{1}\psi_{N} \\ \psi_{2}\psi_{1} &\psi_{2}\psi_{2} & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \psi_{2}\psi_{N} \\ \;\cdot \; &\;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \cdot \; \\ \;\cdot \; &\;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \cdot \; \\ \psi_{N}\psi_{1} &\psi_{N}\psi_{2} & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \;\cdot \; & \psi_{N}\psi_{N} \end{bmatrix}_{r}

其中：

注意，伴随矩阵不同于模态矩阵，因为伴随矩阵的每一列与同一个模态向量成比例。因此，对N个特征值中的每一个值，都需要计算伴随矩阵的值来确定N个特征向量。另外也要注意到，由于伴随矩阵的对称性，如果一个模态系数为零，则相应伴随矩阵的一整行或一整列都将为零。这个现象是正常的，从物理上来讲，这就相当于在系统某一阶模态向量的节点（模态系数等于零）上对系统施加激励（强迫激振）。从理论上讲，在这种情况下，将观察不到相应的振动模态。从解析的角度上讲，这个问题可以通过求解伴随矩阵的其他行或其他列来克服。从试验的角度上讲，需要改变输入和/或输出传感器的布置来检测这种情况。

式3.41极端重要，在下面章节中它将用于表明：对于某个极点(\lambda_r)，频响函数的留数与模态向量的各个元素直接相关。同样，伴随矩阵的对称性也是没有必要去测量整个频响函数矩阵的正当理由。

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