26.模态空间02.04 — 复模态和实模态之间有什么区别？

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中 Pete Avitabile(著) 董书伟（译）

复模态和实模态之间有什么区别？

要解释的很多，但我们从几个简单例子开始吧。

2014年01月06日

这是一个常见的问题，很多人感到困惑。那么我们稍为详尽地讨论一下这个问题，来说明其区别。遗憾的是，在此我们将不得不引入一点数学知识及某些理论内容来帮助说明这个问题。

我们从一个无阻尼方程组开始，接下来过渡到比例阻尼情形，然后为非比例阻尼。到此区别将显而易见。这里将用一个简单例子来阐明一些关键点。描述一个通用系统的方程可以写为

\left [ M \right ]\left \{ \ddot{x} \right \}+\left [ C \right ]\left \{ \dot{x} \right \}+\left [ K \right ]\left \{ x \right \}=\left \{ F\left ( t \right ) \right \}

其中 $[M]$ 、 $[C]$ 、 $[K]$ 分别为质量、阻尼和刚度矩阵，还有对应的加速度、速度、位移和激振力。

变换到模态空间得到

\begin{bmatrix} \setminus & & \\ &\bar{M} & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\left \{ \ddot{p} \right \}+\begin{bmatrix} \setminus & & \\ &\bar{C} & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\left \{ \dot{p} \right \}+\begin{bmatrix} \setminus & & \\ &\bar{K} & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\left \{ p \right \}=\left [ U \right ]^{T}\left \{ F \right \}

式子中含有模态质量、模态刚度和特定条件下的模态阻尼对角矩阵。模态振型矩阵将质量矩阵和刚度矩阵解耦，对于某些特定类型的阻尼，模态振型矩阵也可将阻尼矩阵解耦。为了理解这些条件，下面将举一个简单例子。

对这个例子，这里矩阵定义如下：

\left [ M \right ]=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;;\;\left [ K \right ]=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}

\left [ C_0 \right ]=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\;;\;\left [ C_p \right ]=\begin{bmatrix} 0.4 & -0.1\\ -0.1 & 0.4 \end{bmatrix}\;;\;\left [ C_N \right ]=\begin{bmatrix} 0.4 & -0.1\\ -0.1 & 0.1 \end{bmatrix}

首先考虑无阻尼情形。将利用质量 $[M]$ 、刚度 $[K]$ 和 $\left [ C_0 \right ]$ 矩阵。求这个矩阵方程组的特征解，可以得出频率、留数和振型如下：

\lambda _1 = 0+0.3737j\;;\; a_1=\begin{Bmatrix} 0+0.1230j\\ 0+0.2116j \end{Bmatrix}\;;\; u_1=\begin{Bmatrix} 0.2459\\ 0.4232 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1\\ 1.72 \end{Bmatrix}

\lambda _2 = 0+1.0926j\;;\; a_2=\begin{Bmatrix} 0+0.1868j\\ 0-0.0724j \end{Bmatrix}\;;\; u_2=\begin{Bmatrix} 0.3735\\ -0.1447 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1\\ -0.387 \end{Bmatrix}

注意，模态振型为有符号实数。第一阶模态的两个自由度带有相同的符号，表示这两个自由度彼此同相位，差别仅在于幅值各异。第二阶模态的两个自由度带有不同的符号，表示这两个自由度彼此相位相反、幅值不同。

现在考虑第二种有阻尼的情形，阻尼与系统质量和/或刚度成比例。这里将利用阻尼 $\left [ C_p \right ]$ 以及 $[M]$ 和 $[K]$ 。求这个矩阵方程组的特征解，可以得出频率、留数和振型如下：

\lambda _1 = -0.0579+0.3693j\;;\; a_1=\begin{Bmatrix} 0+0.1244j\\ 0+0.2141j \end{Bmatrix}\;;\; u_1=\begin{Bmatrix} 0.2488\\ 0.4282 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1\\ 1.72 \end{Bmatrix}

\lambda _2 = -0.1097+1.0871j\;;\; a_2=\begin{Bmatrix} 0+0.1877j\\ 0-0.0727j \end{Bmatrix}\;;\; u_2=\begin{Bmatrix} 0.3754\\ -0.1455 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 1\\ -0.387 \end{Bmatrix}

注意，这个特征解得到的模态振型跟无阻尼情形的一模一样。这是由于阻尼跟系统的质量和/或刚度成比例。在模态里这个结果称之为“实模态”。所以显然对于无阻尼和比例阻尼情形，模态振型完全相同。

现在考虑第三种有阻尼情形，阻尼与系统质量和/或刚度不成比例。这里将利用阻尼 $\left [ C_N \right ]$ 以及 $\left [ M \right ]$ 和 $\left [ K \right ]$ 。求这个矩阵方程组的特征解，可以得出频率、留数和振型如下：

\lambda _1 = -0.0162+0.3736j\;;\; a_1=\begin{Bmatrix} -0.0071+0.1288j\\ -0.0048+0.2116j \end{Bmatrix}\;;\; u_1=\begin{Bmatrix} 0.2456+0.0143j\\ 0.4232+0.0095j \end{Bmatrix}

\lambda _2 = -0.1005+1.0872j\;;\; a_2=\begin{Bmatrix} -0.0071+0.1885j\\ -0.0048-0.0726j \end{Bmatrix}\;;\; u_2=\begin{Bmatrix} -0.3771+0.0142j\\ 0.1451+0.0096j \end{Bmatrix}

对于这种情况，模态振型看上去跟之前的有所不同。首先模态振型是复数。仔细观察这些振型，可以看出每阶模态的每个自由度之间的相对相位不再是完全同相或者异相。在模态里这个结果称为“复模态”。这跟之前的两种情况大为不同。这种情况通常发生在阻尼跟系统质量和/或阻尼不相关时，此时阻尼称为非比例阻尼。为了求特征解，将利用一种略为不同的形式，方程组转换到状态空间。

一般来说，当考虑复模态时所有的方程变为更为复杂了。实模态和复模态之间的某些简单结论总结如下：

实模态

实模态的某些特征如下：

模态振型用驻波描述，存在固定不动的节点
所有的点在同一时刻达到最大和最小
所有的点在同一时刻通过零点
模态振型可以用有符号实数描述
所有的点与结构上的其他点或者完全同相或者完全异相
无阻尼情形得到的模态振型跟比例阻尼情形的相同。这些振型可以解耦 $[M]$ 、 $[C]$ 和 $[K]$

复模态

复模态的某些特征如下：

模态振型用行波描述，看上去结构上好像有移动的节点
所有的点不在同一时刻达到最大 — 一些点看上去落后于其他点
所有的点不在同一时刻通过零点
模态振型不能用实数来描述 — 振型是复数的
不同的自由度有某些一般的相位关系，自由度跟其他自由度不再必须是同相或者180度异相。
无阻尼情形得到的模态振型不能将阻尼矩阵解耦

为了将上述结论进一步图形化表示，画出了一个悬臂梁某阶模态的实模态和复模态的简单振型。实模态中（图1a），自由度之间的相对相位或者是完全同相（如蓝色和红色自由度的情形）或者是180度完全异相（如绿色自由度相对于蓝和红色自由度的情形）。复模态不具有这种简单的相位关系，必须根据幅值和相位二者，或者实部和虚部两部分来描述模态振型（图1b）。图1中的图意在显示这种相位关系。

现在重点需要指出的是任何时候都可以从频响测量结果中观察到相位关系。有时这或许是复模态行为的一种隐含指示，但下定论则要小心。所有数据采集、仪器、信号处理、FFT和模态参数估计的这些阶段都会造成测量结果失真，强制造成模态振型“看上去”好像是复模态。

尽管这个话题要讲的内容还有很多，但我希望这个简单的解释有助于理清事实。好好考虑一下这个问题。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。

上一篇：25. 模态空间02.02 — 对于所做的不同类型模态试验，哪种窗最合适？

下一篇：27. 模态空间02.06 — 你能讲一讲模态试验采集数据的基本步骤吗？

返回模态空间中文翻译目录

扩展阅读[new]：
《振动：解析与试验模态分析》辛辛那提大学Randall J. Allemang教授(著) KSI科尚仪器董书伟(译)…