75.模态空间10.06-模态空间中单自由度是如何跟物理响应联系起来的？我依然感到困惑。

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中     Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器 董书伟（译）

模态空间中单自由度是如何跟物理响应联系起来的？我依然感到困惑。

这需要讨论。

2014年04月12日 发布 ver1.0

嗯 – 这是一个概念，实际上非常简单，但确实需要一些解释来保证正确地理解它。我们首先从几个综合方程入手，在前面的文章中我们曾经多次展示过。当然，出发点是矩阵形式的运动方程

\left [ M \right ]\left \{ \ddot{x} \right \}+\left [ C \right ]\left \{ \dot{x} \right \}+\left [ K \right ]\left \{ x \right \}=\left \{ F\left ( t \right ) \right \}

接下来通过特征值求解将这个耦合的矩阵方程组解耦。根据特征解得到模态向量组，根据模态向量组得到模态变换方程。利用模态向量的集合[U],物理坐标{x}跟模态坐标{p}联系起来

\left \{ x \right \}=\left [ U \right ]\left \{ p \right \}=\left \{ u_1 \right \}p_{1}+\left \{ u_2 \right \}p_{2}+\left \{ u_3 \right \}p_{3}+\,\cdots
\quad \left [ U \right ]=\begin{bmatrix} \left \{ u_1 \right \} &\left \{ u_2 \right \} &\left \{ u_3 \right \} & \cdots \end{bmatrix}

将它代入物理方程，并左乘投影算子[U]的转置，在模态空间中最后会得到非常简单的对角矩阵方程组，其中每个方程（模态振子）相互正交且线性独立（解耦的），如下所示

\begin{bmatrix} \bar{m}_1 & & \\ &\bar{m}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{p}_1\\ \ddot{p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} \bar{c}_1 & & \\ &\bar{c}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \dot{p}_1\\ \dot{p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}+ \begin{bmatrix} \bar{k}_1 & & \\ &\bar{k}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} {p}_1\\ {p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \left \{ u_1 \right \}^{T}\left \{ F \right \}\\ \left \{ u_2 \right \}^{T}\left \{ F \right \}\\ \vdots \end{Bmatrix}

关于这个方程，有非常重要的几件事情值得关注。并且模态振型矩阵[U]与此有很大关系。

首先，对于每阶特定的模态，每个方程仅仅含有一个变量 – 模态位移来描述各自的方程。第二，每个方程跟其他方程彼此解耦。第三，从根本上讲，每个方程是一个非常简单的单自由度（SDOF）系统。第四，方程右侧根据施加到物理系统上的作用力，确定出分配到模态振子上的力。图1展示了一个多自由度系统（MDOF）的示意图，其中在物理模型中存在着自由度之间的耦合，在模态空间中最终得到的一组等效的单自由度系统代表模态系统。

图1 – 多自由度系统简图及等效单自由度

所以如果我们根据模态空间的形式写出任意一个方程，用“i”标注第“i”个方程的下脚标，可以得到

\bar{m}_{i}\ddot{p}_{i}+\bar{c}_{i}\dot{p}_{i}+\bar{k}_{i}{p}_{i}=\left \{ u_i \right \}^{T}\left \{ F \right \}=\bar{f}_i
所以利用这个简单的单自由度方程，我们可以计算施加到等效系统上任意的力引起的响应。当然我们可以看到方程的右侧确定了经由模态振型有多少力从物理空间被分配到了等效的模态系统。利用这个力，接下来可以确定等效系统的响应。可以根据任何一本振动教科书求出这个响应–对于自由响应，强迫正弦响应或任意输入响应，这通常是大多数教科书前四章中的一章。这里讨论的缘故，我们假设在物理系统的某一个点上施加了一个冲击。

现在这个物理作用力将分配到模态空间中的每个模态自由度上。所以如果我们观察第1阶模态，我们可以计算出描述1阶模态的单自由度的脉冲响应。接着利用模态变换方程，将这个单自由度响应分配到所有物理自由度上；这本质上是利用每个自由度位置的第1阶模态振型的值，将单自由度的响应换算到所有物理自由度。示意图如图2所示（仅有几个自由度来说明概念）。现在仅提供了物理系统的响应部分，它与1阶模态所做的贡献相关，遍及系统中的所有物理自由度；与1阶模态相关的响应部分如蓝色所示。

图2 – 1阶模态贡献的响应示意图

这不是系统的全部物理响应 – 它仅仅是与1阶模态相关的响应部分。现在也需要包含其他阶模态的贡献。如果我们观察第2阶模态，利用分配到2阶模态的力，可以计算出描述2阶模态的单自由度的脉冲响应。同样利用第2阶模态振型，这个2阶模态的单自由度响应也需要被分配到全部物理自由度上；这仅仅代表与系统第2阶模态相关的响应部分。如图3所示（仅有几个自由度来说明概念）；与2阶模态相关的响应部分如红色所示。

图3 – 2阶模态贡献的响应示意图

对于物理系统的全部响应有贡献的所有阶模态，这个过程接着继续下去。当然，你必须包含对全部响应有贡献的所有阶模态，否则会丢掉某些个解。整个过程在图4中看得很清楚。这幅图展示了物理方程、模态变换方程，它允许耦合的物理系统写成模态空间中一组等效的单自由度系统，模态空间中等效的模态力作用到所有的模态振子之上。重要的是认识到每阶模态都线性独立于其他阶模态，但总体响应是由参与系统响应的所有阶模态的线性组合所构成。

图4 – 模态空间表示的总概

我希望这个解释有助于你理解，根据模态空间响应，物理空间中单自由度响应具有怎样的特征。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。

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