39.模态空间04.06-模态振型归一需要驱动点测量结果。如果没有，有办法归一吗？

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中 Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器董书伟（译）

模态振型归一需要驱动点测量结果。如果没有，有什么办法归一振型吗？

我们讨论一下这个问题。

2014年06月01日发布 ver1.0

为了开发一个能够用于其他结构动力学研究的准确动力学模型，模态振型归是一个重要的内容。举几个例子来说，有些动力学研究是仿真和预测、动力学修改和相关分析。尽管有一些情况，归一可能不重要，但是我总是建议这样做，因为这可能是能采集的唯一数据。一般地，需要一个驱动点测量结果来进行模态振型归一。但是，在没有驱动点测量结果的情况下，有替代方法来采集测量结果并测定归一化的模态振型。

回忆一下，极点和留数是描述所测频响函数的值，可以写为

\left [ H\left ( s \right ) \right ]= lower \; residuals \,+\displaystyle\sum_{k=i}^{j}\dfrac{\left [ A_{k} \right ]}{\left ( s-s_k \right )} +\dfrac{\left [ A_{k}^* \right ]}{\left ( s-s_{k}^* \right )}+\,upper \;residuals

现在可以展示出这些留数跟模态振型有关系。不要经历所有的步骤，得到的系统第‘k’阶模态的关系可以写为（某些项展开了）

\left [ A\left ( s \right ) \right ]_{k}=q_{k}\left \{ u_{k} \right \}\left \{ u_{k} \right \}^T

\begin{bmatrix} a_{11k} &a_{12k} &a_{13k} &\cdots \\ a_{21k} &a_{22k} &a_{23k} &\cdots \\ a_{31k}&a_{32k} &a_{33k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}=q_{k}\begin{bmatrix} u_{1k}u_{1k} &u_{1k}u_{2k} &u_{1k}u_{3k} &\cdots \\ u_{2k}u_{1k} &u_{2k}u_{2k} &u_{2k}u_{3k} &\cdots \\ u_{3k}u_{1k} &u_{3k}u_{2k} &u_{3k}u_{3k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}

现在如果我们考虑这些方程的第‘r’列，那么用下面的式子建立留数跟模态振型之间的关系

\begin{Bmatrix} a_{1r}\\ a_{2r}\\ a_{3r}\\ \vdots\\ a_{rr}\\ \vdots \end{Bmatrix}=q\,u_{r}\begin{Bmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ \vdots\\ u_r\\ \vdots \end{Bmatrix}

所以对于每一个测量结果，可以得到留数和模态振型之间的关系，如下所示

h_{1r}\Rightarrow a_{1r}=u_{1}u_{r}

h_{2r}\Rightarrow a_{1r}=u_{2}u_{r}

h_{3r}\Rightarrow a_{1r}=u_{3}u_{r}

\vdots

但注意到，未知数比方程数多，不管添加多少个额外的方程到这个列表都无所谓。不能确定模态振型，除非包含了一个特殊的测量结果 – 驱动点测量结果，它按如下给出

h_{rr}\Rightarrow a_{rr}=u_{r}u_{r}

利用驱动点测量结果，下面可以得到参考点位置上的模态振型 – 这样允许确定所有其他的模态振型系数。

但是如果不存在或者很难得到驱动点测量结果会如何呢？有其他的方法利用其他可以测量的结果进行模态振型归一吗？嗯，结果表明，这个问题的答案是有。我们描述一组测量结果，它使得驱动点归一测量结果的等效表示成为可能。

我们考虑频响矩阵中任意位置上的某些项，如下所示。‘r’下标是参考点，而‘o’‘p’‘q’‘s’和‘t’是这个矩阵中的任意测量结果。相对于‘r’参考点测得大多数的结果，但有一个结果没有测量。我们假定测量驱动点结果，h_rr，没有测量，但是为了说明起见，显示在矩阵中。有三个感兴趣的特殊测量结果，它们需要写一些简单的方程（在矩阵中它们用双横线表示出来）。