72.模态空间09.12-曲线拟合于我依然如同黑魔法。你能给我解释传函，FRF和参数识别吗？

2014年8月31日发布 ver1.0

嗯，一开始曲线拟合可能看起来像是黑魔法，但是我想做些简单的类比，来帮助你了解它实际上相当简单，并且利用这个例子我将表明它确实非常简单。

关于系统传递函数和频响函数（FRF），上次我们讨论过一些相关知识。对单自由度系统，我们按部分分式形式写系统传递函数为

h\left ( s \right )=\dfrac{a_1}{\left ( s-p_1 \right )}+\dfrac{a_{1}^{*}}{\left ( s-p_1 \right )}

另外，我们也写频响函数等式为

h\left ( j \omega \right )=h\left ( s \right )|_{s=j \omega}=\dfrac{a_1}{\left ( j \omega-p_1 \right )}+\dfrac{a_{1}^{*}}{\left ( j \omega-p_{1}^{*} \right )}

现在，如果我们观察这两个等式，我们注意到在第一种情况下，独立变量为“s”，而在第2个等式中，它是“ω”，并且h取决于这些值。但我也注意到有两个常数，或参数，它们是留数“a”和极点“p”。那么这些是在给定的“ω”值情况下定义“h”的参数；我们称它们为模态参数。

现在如果我们观察系统传递函数或者系统传递函数的一个切片，称频响函数，我们需要认识到，对单自由系统，仅由两个参数也即极点“p”和留数“a”，来定义系统传递函数的曲面以及频响函数的曲线。那么观察图1，我们需要认识到仅由两个参数定义这个曲面和曲线 – 很神奇。

图 1 – 系统传递函数和FRF

现在，我们回过头来看一看某些稍为简单和更为大多数人所理解的事情。我们来观察一条非常简单的直线拟合，利用某些测量数据。对图2所示的数据，我们将会进行二乘误差最小化。现在我们知道我们可以对数据拟合任意的曲线，但是对这组数据，好像一阶拟合更为合理。当然我们将要使用的模型是

y=mx+b

并且有两个参数定义这条直线，即斜率和y截距。

那么例如，在图2中数据的最小二乘拟合得到两个参数，斜率为12.097，而y-截距为-0.019。同时意识到这个数据是根据一组有误差的测量数据得到的，并且最小二乘回归分析确定了最优的参数来利用斜率和y-截距这两个参数来表示这个数据。

图 2 – 简单直线拟合举例

所以如果我们把这种相同的道理运用到单自由度频响函数上，那么我要对图3所示的数据拟合一个前面写出的频响函数形式的一阶模型。如果你观察这个图形，将会非常容易地看到，有一组数据，根据这组数据进行曲线拟合得到两个参数，即极点和留数。

实际上它跟直线拟合是一样的，除了数据是复数的，另外曲线稍为复杂些。但是在本质上，它是相同的方法。我们在离散的数据点上作为复数去测度数据，并且对数据去拟合一条频响函数曲线来找到在最小二乘意义上最能描述数据的参数。

现在当然了，图3中的数据是针对一个单自由度系统。相同的方法可以扩展到如图4所示的高阶函数。所以照此办法我们可以对由离散的复数值的数据拟合多阶模态（或者说，实际上是一个更高阶的多项式），数据来自于频响函数。这里对于图4中的数据，这里也同样可以进行跟模态参数估计相关的所有类似扩展。

图 3 – 概念的单自由拟合

图 4 – 概念的多自由度拟合

所以如果你认可你总是进行的简单直线拟合的这种方法，那么你必须同意对于模态参数估计过程可以运用这种相同的方法。（但当然了，数据是复数的，曲线稍为复杂些。）在根本上，在这两种情况下，按照最小二乘方式提取出描述这个函数的参数。

所以对于曲线拟合过程根本没有什么黑魔法。它实际上是相同的方法，跟我们对简单的直线回归分析所做的一样。模态参数估计仅仅是数据简单曲线拟合的扩展。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。