70.模态空间09.08-用跟全局坐标系倾斜的输入进行激振器试验

MODAL SPACE – IN OUR OWN LITTLE WORLD

模态空间 – 在我们自己的小世界中     Pete Avitabile(著) KSI科尚仪器 董书伟（译）

Aug09-01

如果用跟全局坐标系倾斜的输入进行激振器试验，如何将力按各个方向分解为特定的分量？

等等 – 在你测试数据之前，我们需要讨论一下这个问题。

2014年05月11日 发布 ver1.0

嗯，事实证明，其实你不需要将力分解为全局坐标系内的各个分量。有一种简单的方法来解释这点。但是，在我们弄清我们要如何帮助解决你描述的这个问题之前，我们首先讨论一些基础知识。

我们需要理解的第一件事情是，即使是你能在全局坐标系内将输入力分解为两个独立的输入，你实际上也不会有两个独立的输入；这两个输入跟那个加到结构上的独立输入是线性相关的。所以即使你能将它分解为多个分量，这么做也没有任何用处。但是，想一想我们自己为什么会这么想，需要将力分解为独立的分离。

我们拿一个简单的结构开始这个讨论，结构具有性质上非常方向性的模态振型，如图1所示。

Aug09-Fig01

图1 – 模态振型，具有非常方向性的特征

那么对方向性模态，我这是什么意思？这表示对结构的某一特定阶的模态，结构响应主要是在一个方向上，而在其他方向上少于或者没有响应。但结构的另一阶模态可能在跟第1阶模态不同的方向上有响应，而在其他方向上少有或者没有响应。在图1中第1、3阶模态上，我们可以看得出这点；注意到，模态振型基本上是水平方向上，而垂直方向上少有运动。但是，如果我们观察第2、4、5和6阶模态，会发现振型的主要运动是在垂直方向上，而水平方向上少有运动。

所以，如果我们想要选取一个模态试验的参考点，若是我把自己限制在水平方向（X）或者垂直方向（Y），则不容易选取。那么也许我需要有某个倾斜于全局坐标系的参考点，对这组测试结果，我选用。为了讨论起见，我们假设我只对系统的前四阶模态感兴趣。首先，我们写出方程，假设在一次模态试验中，对x-方向的模态我有一个参考点，接下来在第二次模态试验中，对y-方向的模态有一个参考点。（最终，我们将写出倾斜参考点的方程，来说明在一次模态试验中，如何选择一个适合于所有模态的参考点。）

现在要讨论的最重要的事情是驱动点测量结果的重要性以及它如何跟描述留数和模态振型的方程联系在一起。我们回忆一下频响函数的方程

h_{ij}\left ( j \omega \right )=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{a_{ijk}}{\left ( j \omega-p_{k} \right )}+\dfrac{a_{ijk}^{*}}{\left ( j \omega-p_{k}^{*} \right )}

我们要记住，对于一个特定的测量自由度，留数跟模态振型（以及q比例因子）直接相关，如下

a_{ijk}=q_{k}u_{ik}u_{jk}

或者，对于全部测量结果，按矩阵的形式，如下
\begin{bmatrix} a_{11k} &a_{12k} &a_{13k} &\cdots \\ a_{21k} &a_{22k} &a_{23k} &\cdots \\ a_{31k}&a_{32k} &a_{33k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}=q_{k}\begin{bmatrix} u_{1k}u_{1k} &u_{1k}u_{2k} &u_{1k}u_{3k} &\cdots \\ u_{2k}u_{1k} &u_{2k}u_{2k} &u_{2k}u_{3k} &\cdots \\ u_{3k}u_{1k} &u_{3k}u_{2k} &u_{3k}u_{3k} &\cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}

所以，如果我们选取一个特殊的参考点，例如7x，并在24个测点位置按照x和y方向进行测量，那么对特定一阶模态，这组数据可以写为

\begin{Bmatrix} a_{1x7x}\\ a_{1y7x}\\ a_{2x7x}\\ a_{2y7x}\\ a_{3x7x}\\ \vdots\\ a_{7x7x}\\ \vdots\\ a_{24x7x}\\ a_{24y7x} \end{Bmatrix}=q\,u_{7x}\begin{Bmatrix} a_{1x}\\ a_{1y}\\ a_{2x}\\ a_{2y}\\ a_{3x}\\ \vdots\\ a_{7x}\\ \vdots\\ a_{24x}\\ a_{24y} \end{Bmatrix}

那么我们会发现，利用

a_{7x7x}=q\,u_{7x}u_{7x}

在7x的驱动点测量结果将是把留数进行归一以得到归一化模态振型所需的测量结果。

但是，我们必须记住，根据x方向（7x）上的参考点，只有1、3阶模态可以容易地测量出来，因为这些模态在x方向上，而2、4阶模态是y-方向上的模态，如果参考点在x-方向上的话，则不容易测出来。

为了测量2、4阶模态，需要y-方向上的参考点。当然，需要第2次试验完成这点。举个例子，如果选择一个位于20Y的参考点，那么可以写出相对于这个参考点的方程，并且如上所述，将用20Y的驱动点得到归一化模态振型，为

\begin{Bmatrix} a_{1x20y}\\ a_{1y20y}\\ a_{2x20y}\\ a_{2y20y}\\ a_{3x20y}\\ \vdots\\ a_{20y20y}\\ \vdots\\ a_{24x20y}\\ a_{24y20y} \end{Bmatrix}=q\,u_{20y}\begin{Bmatrix} a_{1x}\\ a_{1y}\\ a_{2x}\\ a_{2y}\\ a_{3x}\\ \vdots\\ a_{20y}\\ \vdots\\ a_{24x}\\ a_{24y} \end{Bmatrix} \quad 以及 \quad a_{20y20y}=q \, u_{20y}u_{20y}

但是这需要用两个不同的参考点进行两次模态试验。另一种方法是在结构上选择一个额外的点，按照某种倾斜的角度，例如在一个任意点99s的位置，在这里进行力和加速度的驱动点结果测量。为了示意，加到结构的输入如图2所示。这个参考点可以是结构上的任何一个点，按照任何倾斜的角度，只要那个位置适合于激起感兴趣的全部模态。

Aug09-Fig02

图2 – 利用倾斜输入激励进行模态试验

对于这组测量结果，相对于点99s位置的参考点的方程组和驱动点测量结果将是

\begin{Bmatrix} a_{1x99s}\\ a_{1y99s}\\ a_{2x99s}\\ a_{2y99s}\\ a_{3x99s}\\ a_{3y99s}\\ a_{4x99s}\\ a_{4y99s}\\ \vdots\\ a_{99s99s} \end{Bmatrix}=q\,u_{99s}\begin{Bmatrix} a_{1x}\\ a_{1y}\\ a_{2x}\\ a_{2y}\\ a_{3x}\\ a_{3y}\\ a_{4x}\\ a_{4y}\\ \vdots\\ a_{99s} \end{Bmatrix} \quad 以及 \quad a_{99s99s}=q \, u_{99s}u_{99s}

那么，一旦利用驱动点测量结果将模态振型进行归一之后，则真的没有必要在模态振型的描述中包含这个参考点。这恰是得到归一化模态振型的一种非常方便的办法，甚至无需在模态振型的实际几何形状描述中包含这个倾斜的驱动点测量结果。但是当然，关键是记住，为了让这点有效，倾斜的参考点位置必须是一个好位置，其中，根据那个参考点位置可以观察的到所有模态。

我希望这个解释有助于你理解，对参考点你可以选取任意的角度 – 只要它不是模态的节点。并且你可以利用这个倾斜的参考点位置作为驱动点进行系统的模态归一。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。

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