7. 模态归一

《振动：解析与试验模态分析》 辛辛那提大学 Randall J. Allemang教授 (著)，KSI科尚仪器 董书伟 (译)

7.1 比例阻尼系统（模态质量）

为了将质量矩阵、阻尼（如是比例阻尼）矩阵和刚度矩阵对角化，前面一直用模态矩阵（模态向量矩阵）作为坐标变换。这些矩阵的对角化引出了模态质量、模态阻尼和模态刚度的解析定义。从试验角度来看，质量、阻尼和刚度矩阵通常是未知的。因此，模态质量、模态阻尼和模态刚度定义的这个理论方法没什么用。就算如此，不需要有质量、阻尼和刚度矩阵的先验知识，也可以直接从所测的频响函数中求得模态质量、模态阻尼和模态刚度。注意，模态质量、模态阻尼和模态刚度通常不是物理属性，相对于物理属性，它们是广义或正则化的属性。

前文说过，从解析的角度看，模态质量的值完全依赖于选定的模态向量归一方法。从频响函数（试验角度）出发的任何推导必须与这个概念相一致。4.7节中的推导（式4.51）符合这个约束条件。这里重写式4.51为式7.1。

M_r = \dfrac{1}{j2Q_{r}\omega_{r}} \qquad (7.1)

只有选定模态向量归一方法之后，上式中的归一化系数Q_r才能确定。

记住，对于N自由度系统的第r阶模态来说：

[A]_r = Q_{r}\left\{\psi\right\}_{r}\left\{\psi\right\}_{r}^{T} \qquad (7.2)

[A]_r = Q_{r}\begin{bmatrix} \psi_{1}\psi_{1} & \psi_{1}\psi_{2} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \psi_{1}\psi_{m}\\ \psi_{2}\psi_{1} & \psi_{2}\psi_{2} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot \\ \psi_{m}\psi_{1} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \psi_{m}\psi_{m} \end{bmatrix}_{r} \qquad (7.3)

其中：

仅利用留数矩阵的第q列：

\begin{bmatrix} A_{1q}\\ A_{2q}\\ \cdot \\ \cdot \\ A_{iq}\\ \cdot \\ \cdot \\ A_{mq} \end{bmatrix}_{r}=Q_{r}\begin{bmatrix} \psi_{1}\psi_{q}\\ \psi_{2}\psi_{q}\\ \cdot \\ \cdot \\ \psi_{i}\psi_{q}\\ \cdot \\ \cdot \\ \psi_{m}\psi_{q} \end{bmatrix}_{r}=Q_{r}\psi_{qr}\begin{bmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \cdot \\ \cdot \\ \psi_{i}\\ \cdot \\ \cdot \\ \psi_{m} \end{bmatrix}_{r} \qquad (7.4)

当利用H_{qq}(\omega)频响函数测量结果时，留数、归一化常数和模态向量归一之间的关系才最清楚。注意在点q激励，测量点q的响应得到H_{qq}(\omega)。通常称此为驱动点频响函数。因此，对所有阶模态，(r=1\rightarrow N)，可以从H_{qq}(\omega)测量数据中确定留数A_{qqr}。

现在，注意到式7.4的第q个元素：

A_{qqr}=Q_{r}\psi_{qr}\psi_{qr}=Q_{r}\psi_{qr}^2 \qquad (7.5)

因此，一个多自由度系统的第r阶模态质量定义为：

模态质量

M_{r}=\dfrac{1}{j 2 Q_{r}\omega_{r}} \qquad (7.6)

一般来说：

M_{r}=\dfrac{\psi_{pr}\psi_{qr}}{j 2 A_{pqr}\omega_{r}} \qquad (7.7)

其中：

尽管模态质量作为相对量（相对于归一办法）的这个概念与质量作为绝对量的工程观点不一致，但这点却与模态质量的解析定义相一致。

虽然模态向量归一方法有很多选择，但选择一种模态向量归一办法，以使最大的模态系数等于1.0，则模态质量将总介于0与系统物理质量之间。对于其中系统模态向量描绘系统刚体平动（整体平动）的情况，这种特定选择将以系统质量作为模态质量。因此，如果最大的归一化模态系数等于1，则式7.7求得的模态质量将具有物理意义。这个物理意义就是，在这些条件下求得的模态质量将是一个介于0和系统总质量之间的值。因此，在这种归一条件下，模态质量可以看作是参与到每一阶振动模态的质量值。

注意，在式7.6或7.7中定义的模态质量是根据位移比力的单位来推导的。如果测量值，继而留数是按照其它单位（速度比力或者加速度比力）来推导的，则要么测量值，要么式7.6和7.7将不得不相应改动。

一旦模态质量已知，则可以根据下面的单自由度关系式来得到模态阻尼和刚度：

模态阻尼

C_{r} = 2 \sigma_{r}M_{r} \qquad (7.8)

模态刚度

K_{r} = (\sigma_{r}^2+\omega_{r}^{2})M_{r} \qquad (7.9)

7.1.1 模态向量归一

有很多种进行模态矢量归一的办法，但是经常使用下面的几种方法：

对于这三种方法中的每个方法，都可求得归一化常数Q_r。

7.1.1.1 单位模态质量

Q_{r}=\dfrac{1}{j 2M_{r}\omega_{r}}=\dfrac{1}{j 2 \omega_{r}}

现在，驱动点处归一化的模态系数可按如下计算：

Q_{r}\psi_{qr}\psi_{qr}=A_{qqr}

两边同除Q_{r}：

\psi_{qr}\psi_{qr}=\dfrac{A_{qqr}}{Q_{r}}

现在可以求得驱动点处的归一后的模态系数。对于比例阻尼情况，这显然不重要，因为上式两边的均方根是实数的均方根。对于一般情况，模态系数可能是复数，必须解上述方程得到复模态系数。在这种情况下，不能使用均方根。

因此，归一化的模态向量为：

\left\{\psi\right\}_{r}=\dfrac{1}{Q_{r}\psi_{qr}}\left\{A\right\}_{r}

7.1.1.2 单位模态系数

假设模态向量的第i个元素\psi_{i}必须设为1\left ( \psi_{i}=1.0 \right )。则：

\left\{\psi\right\}_{r}=\dfrac{1}{A_{iq}}\left\{A\right\}_{r}

因此：

Q_{r}=\dfrac{A_{iqr}}{\psi_{ir}\psi_{qr}}

7.1.1.3 单位模态向量模

\left\{\psi\right\}_{r}=\dfrac{1}{\begin{Vmatrix} \left \{ A \right \}_{r} \end{Vmatrix}_{2}}\left\{A\right\}_{r}

其中：

因此：

Q_{r}=\dfrac{A_{iqr}}{\psi_{ir}\psi_{qr}}

7.1.2 模态向量归一化示例

利用第5章例子中的模态向量，可以确定要进行单位模态质量的模态向量归一办法。

1阶和2阶的模态向量为：

\begin{bmatrix} A_{11}\\ A_{21} \end{bmatrix}_{1}=\begin{bmatrix} -j\dfrac{\sqrt{39}}{117}\\ -j\dfrac{\sqrt{39}}{117} \end{bmatrix} \qquad \qquad \lambda_{1}=-\dfrac{1}{10}+j\dfrac{\sqrt{39}}{10}

\begin{bmatrix} A_{11}\\ A_{21} \end{bmatrix}_{2}=\begin{bmatrix} -j\dfrac{4\sqrt{15}}{225}\\ -j\dfrac{2\sqrt{15}}{225} \end{bmatrix} \qquad \qquad \lambda_{2}=-\dfrac{1}{4}+j\dfrac{\sqrt{15}}{4}

对于单位模态质量情况，可根据式7.6计算归一化因子。

Q_{r}=\dfrac{1}{j2\omega_{r}}

因此，对于单位模态质量归一化的1阶模态向量为：

\begin{Bmatrix} A_{11}\\ A_{21} \end{Bmatrix}_{1}=Q_{1}\psi_{1}\begin{Bmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \end{Bmatrix}_{1} \qquad \begin{Bmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2} \end{Bmatrix}_{1}=\begin{Bmatrix} \sqrt{1/15} \\ \sqrt{1/15} \end{Bmatrix}_{1}

单位模态质量归一后的2阶模态向量为：

\begin{Bmatrix} A_{11}\\ A_{21} \end{Bmatrix}_{2}=Q_{2}\psi_{1}\begin{Bmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \end{Bmatrix}_{1} \qquad \begin{Bmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2} \end{Bmatrix}_{2}=\begin{Bmatrix} \sqrt{2/15} \\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{2/15} \end{Bmatrix}_{2}

注意，根据单位模态质量进行归一后的这些模态向量，与之前（3.2节）求得的模态向量类似。不过，重要的是之前这些归一化的模态向量是直接根据频响函数确定的。换句话讲，为了确定相同的信息，不需要知道系统的质量、阻尼和刚度。

现在，可以利用式7.8和7.9来计算模态阻尼和模态刚度了。

C_{1} = 2\sigma_{1}M_{1}\quad = 2 \left ( \dfrac{1}{10} \right )1\quad = \dfrac{1}{5}
C_{2} = 2\sigma_{2}M_{2}\quad = 2 \left ( \dfrac{1}{4} \right )1\quad = \dfrac{1}{5}

K_{1}=\left ( \sigma _{1}^{2}+\omega_{1}^2 \right )M_{1}=\left ( \dfrac{1}{100}+\dfrac{39}{100} \right )1=\dfrac{2}{5}

K_{2}=\left ( \sigma _{2}^{2}+\omega_{2}^2 \right )M_{2}=\left ( \dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16} \right )1=1

这些参数跟之前算得的完全一样。

7.2 非比例阻尼系统（模态A）

模态A用于非比例阻尼系统的理论情形，其定义与模态归一因子是一致的，模态A归一因子同样也是归一化模态向量和留数之间关系的基础，留数是由测得的频响函数确定的。对于大多数试验工作，通常把模态A作为默认的归一化方法。如果需要估计模态质量，那么在实（正则）模态的限制条件下，可以从模态A来估计模态质量。下列推导说明了模态A和模态质量之间的关系。从2N空间的模态质量的解析定义出发：

M_{A_r}= \left \{ \phi \right \}_{r}^{T} \begin{bmatrix} \left [ 0 \right ] & \left [ M \right ]\\ \left [ M \right ] & \left [ C \right ] \end{bmatrix} \left\{ \phi\right\}_{r} \qquad (7.10)

M_{A_r}= \begin{Bmatrix} \lambda_{r}\left \{ \psi \right \}_{r}\\ \quad \left \{ \psi \right \}_{r} \end{Bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} \left [ 0 \right ] & \left [ M \right ]\\ \left [ M \right ] & \left [ C \right ] \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \lambda_{r}\left \{ \psi \right \}_{r}\\ \quad \left \{ \psi \right \}_{r} \end{Bmatrix} \qquad (7.11)

按照N维空间，将式7.11乘出来，得到：

M_{A_r}=\lambda _{r}\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}\left [ M \right ]\left \{ \psi \right \}_{r} +\lambda _{r}\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}\left [ M \right ]\left \{ \psi \right \}_{r} +\left \{ \psi \right \}_{r}^{T}\left [ C \right ]\left \{ \psi \right \}_{r} \quad (7.12)

如果系统为比例阻尼，那么现在可以应用质量矩阵和模态向量之间的加权正交关系：

M_{A_r}=\lambda_{r}M_{r}+\lambda_{r}M_{r}+C_{r} = 2\lambda_{r}M_{r}+C_{r} \qquad(7.13)

应用模态阻尼和模态质量之间的单自由度关系(C_{r} = -\sigma_{r}M_{r})：

M_{A_r} = 2\lambda_{r}M_{r}-2\sigma_{r}M_{r} \qquad (7.14)

M_{A_r} = 2(\sigma_{r}+j\omega_{r})M_{r} - 2\sigma_{r}M_{r} \qquad (7.15)

M_{A_r} = 2j\omega_{r}M_{r} \qquad (7.16)

式7.16表明对于比例阻尼系统，如果将模态向量归一得到实模态，则模态质量也即为实数，相应的模态A为虚数。

尽管式7.16仅对比例阻尼系统成立，而式7.16的另外一种表达式给出了一种更为通用的结果，它包含任意类型的阻尼。方便起见，将式4.51重写如下：

M_{r}=\dfrac{1}{j 2 \omega_{r}Q_{r}} \qquad (7.17)

将式7.17代入式7.16，得到：

M_{A_r}=\dfrac{1}{Q_{r}} \qquad (7.18)

因为留数、模态向量系数和相应的模态归一化(A_{pqr}=Q_{r}\psi_{pr}\psi_{qr})之间关系式的基本推导并不依赖于比例阻尼假设，故而式7.18对于任意阻尼情况都成立，是模态归一化最为常见的形式。注意，通常模态A将是复数。也可以将式7.18写成一种等效的形式，来清楚地表明模态A依赖于模态向量归一方法。

M_{A_r}=\dfrac{1}{Q_{r}}=\dfrac{\psi_{pr}\psi_{qr}}{A_{pqr}} \qquad (7.19)

注意上面模态A的推导是根据位移比力的单位来进行的。如果测量结果，故而留数是按照其他单位（速度比力，或者加速度比力）得到的，那么式7.19或频响函数数据也将不得不做相应地改变。

与先前从解析的角度来定义的模态B归一值相一致，一旦模态A已知后，模态B可以根据模态频率来确定。

M_{B_r} = -\lambda_{r}M_{A_r} \qquad (7.20)

7.3 模态质量、模态A单位探讨

通常认为模态向量是无量纲的，因为它们代表相对运动方式。因此，可认为模态质量或模态A归一项带有各自的测量单位。例如，频响函数推导是基于位移比力的单位的。因此，留数必然具有长度比力-秒的单位。因为模态A归一系数与留数为反比关系，模态A将具有力-秒比长度的单位。这个单位组合跟质量比秒是相同的。相类似地，因为模态质量与模态A有关，对于比例阻尼系统，通过阻尼固有频率的直接关系，模态质量的单位，跟预期的那样，是质量单位。

对于各种典型单位的应用情形，下表总结了模态A和模态质量的单位。

各种单位关系
质量	力	长度	模态A(M_{A_r})	模态质量M_r
M	F	L	M/S	M
KG	NT	Meter	KG/S	KG
KG	KGf	g-S-S	KG/S	KG
LBm	LBf	g-S-S	LBm/S	LBm
Slug	LBf	Feet	Slug/S	Slug

上一章 第6章 频响函数合成 – 振动：解析与试验模态分析

下一章 第8章 高级模态分析概念 – 振动：解析与试验模态分析

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